Considere a função
f(x, y)=cc x^5+x y^2x^4+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 3, & se (x, y)=(0,0)
Calcule o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite de funções de duas variáveis! O enunciado nos dá uma função f(x, y) definida de duas maneiras diferentes: uma para quando (x, y) não é (0,0) e outra quando (x, y) = (0,0). O que precisamos fazer é calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) ou mostrar que esse limite não existe. Para isso, vamos usar conceitos básicos de limites em várias variáveis e analisar o comportamento da função pelas diferentes direções que se aproximam de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(x, y) se comporta quando (x, y) não é (0,0). A função é dada por:
f(x, y) = x^5 + x y^2x^4 + y^2
Queremos calcular o limite dessa expressão quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 3

Uma maneira de analisar esse limite é verificar se o resultado depende do caminho pelo qual (x, y) se aproxima de (0,0). Se obtemos o mesmo valor independente do caminho, o limite existe e é esse valor. Caso contrário, o limite não existe.
Vou testar alguns caminhos comuns, como:
  1. y = 0
  2. x = 0
  3. y = kx^2 onde k é uma constante

Passo 4

Primeiro caminho: y = 0
Substituindo y = 0 na função:
f(x, 0) = x^5 + x cdot 0^2x^4 + 0^2 = x^5x^4 = x
Agora, calculamos o limite quando x tende a 0:
limx to 0 x = 0
Então, pelo caminho y = 0 , o limite é 0.

Passo 5

Segundo caminho: x = 0
Substituindo x = 0 na função:
f(0, y) = 0^5 + 0 cdot y^20^4 + y^2 = 0y^2 = 0
Aqui, o limite quando y tende a 0 também é 0.

Passo 6

Terceiro caminho: y = kx^2
Vamos substituir y = kx^2 na função:
f(x, kx^2) = x^5 + x (kx^2)^2x^4 + (kx^2)^2 = x^5 + x k^2 x^4x^4 + k^2 x^4 = x^5 + k^2 x^5x^4(1 + k^2) = x^5(1 + k^2)x^4(1 + k^2) = x
Então, o limite quando x tende a 0 é:
limx to 0 x = 0
Pelo caminho y = kx^2 , o limite também é 0.

Passo 7

Até agora, todos os caminhos que testamos deram o limite 0. Mas para ter certeza de que o limite realmente existe e é 0, precisamos verificar que não existe outro caminho que produza um limite diferente.
Por exemplo, podemos tentar um caminho mais geral ou usar coordenadas polares para verificar o comportamento da função.
Vamos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta . Quando r tende a 0, (x, y) se aproxima de (0,0).
Substituindo na função:
f(r cos theta, r sin theta) = (r cos theta)^5 + (r cos theta)(r sin theta)^2(r cos theta)^4 + (r sin theta)^2
Vamos simplificar isso:
= r^5 cos^5 theta + r cos theta cdot r^2 sin^2 thetar^4 cos^4 theta + r^2 sin^2 theta = r^5 cos^5 theta + r^3 cos theta sin^2 thetar^4 cos^4 theta + r^2 sin^2 theta
Agora, vamos fatorar r^2 no denominador:
= r^3 (r^2 cos^5 theta + cos theta sin^2 theta)r^2 (r^2 cos^4 theta + sin^2 theta) = r cdot r^2 cos^5 theta + cos theta sin^2 thetar^2 cos^4 theta + sin^2 theta
Quando r tende a 0, os termos com r^2 vão desaparecer, deixando:
approx r cdot cos theta sin^2 thetasin^2 theta = r cos theta
E o limite de r cos theta quando r tende a 0 é 0, independentemente do ângulo theta .

Passo 8

Como todos os caminhos que testamos, incluindo a análise com coordenadas polares, resultaram no limite sendo 0, podemos concluir que o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é realmente 0.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e é igual a 0.

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