Calcule o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite de funções de duas variáveis! O enunciado nos dá uma função f(x, y) definida de duas maneiras diferentes: uma para quando (x, y) não é (0,0) e outra quando (x, y) = (0,0). O que precisamos fazer é calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) ou mostrar que esse limite não existe. Para isso, vamos usar conceitos básicos de limites em várias variáveis e analisar o comportamento da função pelas diferentes direções que se aproximam de (0,0).
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função f(x, y) se comporta quando (x, y) não é (0,0). A função é dada por:
f(x, y) = x^5 + x y^2x^4 + y^2
Queremos calcular o limite dessa expressão quando (x, y) se aproxima de (0,0).
Passo 3
Uma maneira de analisar esse limite é verificar se o resultado depende do caminho pelo qual (x, y) se aproxima de (0,0). Se obtemos o mesmo valor independente do caminho, o limite existe e é esse valor. Caso contrário, o limite não existe.
Até agora, todos os caminhos que testamos deram o limite 0. Mas para ter certeza de que o limite realmente existe e é 0, precisamos verificar que não existe outro caminho que produza um limite diferente.
Por exemplo, podemos tentar um caminho mais geral ou usar coordenadas polares para verificar o comportamento da função.
Vamos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta . Quando r tende a 0, (x, y) se aproxima de (0,0).
Substituindo na função:
f(r cos theta, r sin theta) = (r cos theta)^5 + (r cos theta)(r sin theta)^2(r cos theta)^4 + (r sin theta)^2
Quando r tende a 0, os termos com r^2 vão desaparecer, deixando:
approx r cdot cos theta sin^2 thetasin^2 theta = r cos theta
E o limite de r cos theta quando r tende a 0 é 0, independentemente do ângulo theta .
Passo 8
Como todos os caminhos que testamos, incluindo a análise com coordenadas polares, resultaram no limite sendo 0, podemos concluir que o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é realmente 0.
Resposta
O limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e é igual a 0.