Encontre a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
x^2-y^2+z^2=4, no ponto (2,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície x^2 - y^2 + z^2 = 4 no ponto (2, 1, 1) . Isso faz parte do cálculo, mais especificamente das derivadas parciais e dos planos tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x , y e z para encontrar um vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a função que define a superfície: f(x, y, z) = x^2 - y^2 + z^2 . Para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais dessa função em relação a cada variável. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície em cada direção.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = 2x
  • Derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = -2y
  • Derivada parcial em relação a z :
partial fpartial z = 2z
Essas derivadas formam o vetor normal ao plano tangente.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto dado (2, 1, 1) :
  • partial fpartial x em x = 2 :
2 times 2 = 4
  • partial fpartial y em y = 1 :
-2 times 1 = -2
  • partial fpartial z em z = 1 :
2 times 1 = 2
Então, o vetor normal ao plano tangente é lang<= 4, -2, 2 rang<= .

Passo 5

Com o vetor normal lang<= A, B, C rang<= = lang<= 4, -2, 2 rang<= e o ponto (2, 1, 1) , podemos usar a fórmula do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
4(x - 2) - 2(y - 1) + 2(z - 1) = 0

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
4x - 8 - 2y + 2 + 2z - 2 = 0
Juntando os termos:
4x - 2y + 2z - 8 = 0
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar ainda mais:
2x - y + z - 4 = 0

Resposta

A equação do plano tangente à superfície x^2 - y^2 + z^2 = 4 no ponto (2, 1, 1) é:
2x - y + z - 4 = 0

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