Encontre a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
, no ponto
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
. Isso faz parte do cálculo, mais especificamente das derivadas parciais e dos planos tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
,
e
para encontrar um vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a função que define a superfície:
. Para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais dessa função em relação a cada variável. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície em cada direção.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Essas derivadas formam o vetor normal ao plano tangente.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto dado
:
-
em :
-
em :
-
em :
Então, o vetor normal ao plano tangente é
.
Passo 5
Com o vetor normal
e o ponto
, podemos usar a fórmula do plano:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Juntando os termos:
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar ainda mais:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é: