(1 ponto) Determine uma base e calcule a dimensão do subespaço gerado pelos vetores v1=[r1 -2 0], v2=[r-3 -6 0], v3=[r-2 3 5] e v4=[r-3 5 5].

Passo 1

Temos quatro vetores em R^3:
v1=1-20, v2=-3-60, v3=-235, v4=-355
Queremos encontrar uma base do subespaço W=spanv1,v2,v3,v4 e sua dimensão. Como estamos em R^3, dim W<=3. Para achar a dimensão e uma base, vamos verificar quantos destes vetores são linearmente independentes usando a eliminação de Gauss.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os e aplicamos eliminação de Gauss:

  1. .
  2. Dividindo essa segunda linha por e eliminando acima, e por fim normalizando a terceira linha, obtemos a forma escalonada
Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, portanto .

Passo 3

Os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 3 de M, o que significa que v1,v2,v3 são linearmente independentes e geram todo W. O vetor v4 fica então como combinação linear desses três. Logo
dim W = 3,
e uma base natural de W é v1,v2,v3.

Resposta

Uma base de W é ,v1,v2,v3 e dim W=3.

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