(1 ponto) Determine uma base e calcule a dimensão do subespaço gerado pelos vetores , v3=[r-2 3 5] e v4=[r-3 5 5].
Passo 1
Temos quatro vetores em R^3:
v1=1-20, v2=-3-60, v3=-235, v4=-355
Queremos encontrar uma base do subespaço W=spanv1,v2,v3,v4 e sua dimensão. Como estamos em R^3, dim W<=3. Para achar a dimensão e uma base, vamos verificar quantos destes vetores são linearmente independentes usando a eliminação de Gauss.
Passo 2
Formamos a matriz cujas colunas são os e aplicamos eliminação de Gauss:
dá .
Dividindo essa segunda linha por e eliminando acima, e por fim normalizando a terceira linha, obtemos a forma escalonada
Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, portanto .
Passo 3
Os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 3 de M, o que significa que v1,v2,v3 são linearmente independentes e geram todo W. O vetor v4 fica então como combinação linear desses três. Logo