Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^2 y^prime prime+x y^prime-y=ln (x) Cauchy-Euler

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial x^2 y'' + x y' - y = ln(x) usando o método de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação está relacionado a equações diferenciais de coeficientes variáveis e vamos precisar entender como encontrar a solução geral combinando as soluções da parte homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, x^2 y'' + x y' - y = 0 . Para equações de Cauchy-Euler, assumimos uma solução da forma y = x^r , onde r é um número que vamos determinar.

Passo 3

Calculando as derivadas:
  • y' = r x^r-1
  • y'' = r (r - 1) x^r - 2
Substituindo na equação homogênea:
x^2 cdot r (r - 1) x^r - 2 + x cdot r x^r - 1 - x^r = 0
Simplificando:
r (r - 1) x^r + r x^r - x^r = 0
[r (r - 1) + r - 1] x^r = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2 - r + r - 1 = 0
r^2 - 1 = 0
Isso nos dá r = 1 e r = -1 .

Passo 5

Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x + C2 x^-1
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa x^2 y'' + x y' - y = ln(x) . Vamos tentar uma solução do tipo yp = A ln(x) + B , onde A e B são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de yp :
  • yp' = Ax
  • yp'' = -Ax^2
Substituindo na equação original:
x^2 (-Ax^2) + x (Ax) - (A ln(x) + B) = ln(x)
Simplificando:
-A + A - A ln(x) - B = ln(x)
-A ln(x) - B = ln(x)

Passo 8

Comparando os termos, temos:
  • Coeficiente de ln(x) : -A = 1 A = -1
  • Termo constante: -B = 0 B = 0
Então, a solução particular é:
yp = -ln(x)

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = C1 x + C2 x^-1 - ln(x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x + C2 1x - ln(x)
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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