Resolva as seguintes equações diferenciais:
Cauchy-Euler
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação está relacionado a equações diferenciais de coeficientes variáveis e vamos precisar entender como encontrar a solução geral combinando as soluções da parte homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para equações de Cauchy-Euler, assumimos uma solução da forma
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Isso nos dá
e
.
Passo 5
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos tentar uma solução do tipo
, onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Comparando os termos, temos:
- Coeficiente de
: → - Termo constante:
→
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.