Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e fazer um esboço do domínio da função
. Isso envolve entender onde a função está “vivendo”, ou seja, para quais valores de
e
a função está bem definida. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre radiciação e divisão, garantindo que os denominadores não sejam zero e que as expressões dentro das raízes sejam não negativas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função que está no denominador:
. Para que essa raiz quadrada seja válida, o que está dentro dela precisa ser maior que zero (porque não dá para tirar raiz de número negativo e não queremos divisão por zero). Então, temos que:
Isso garante que o denominador não seja zero e que a raiz seja real.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda parte da função:
. Novamente, para a raiz quadrada ser válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Portanto:
Isso nos diz que
precisa ser pelo menos 1.
Passo 4
Vamos resolver as desigualdades que encontramos:
- Para a primeira parte:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de um círculo com raio 6 centrado na origem. Isso significa que os pontos
devem estar dentro desse círculo.
- Para a segunda parte:
Simplificando:
Isso define que
deve ser pelo menos 1.
Passo 5
Agora, vamos combinar essas duas condições para encontrar o domínio completo da função.
- A primeira condição
define um círculo aberto de raio 6. - A segunda condição
define a região à direita da reta .
Para que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo, os pontos
devem estar dentro do círculo de raio 6 e à direita da reta
.
Passo 6
Para esboçar o domínio:
- Desenhe um círculo com raio 6 centrado na origem.
- Desenhe a reta vertical
. - Identifique a região dentro do círculo e à direita da reta
.
Essa área sombreada representa todos os pontos
para os quais a função
está definida.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
tais que:
Em outras palavras, é a região dentro do círculo de raio 6 centrado na origem e à direita da reta
.