Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=5raiz36-x^2-y^2+raizx-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e fazer um esboço do domínio da função f(x, y) = 5raiz36 - x^2 - y^2 + raizx - 1 . Isso envolve entender onde a função está “vivendo”, ou seja, para quais valores de x e y a função está bem definida. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre radiciação e divisão, garantindo que os denominadores não sejam zero e que as expressões dentro das raízes sejam não negativas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função que está no denominador: raiz36 - x^2 - y^2 . Para que essa raiz quadrada seja válida, o que está dentro dela precisa ser maior que zero (porque não dá para tirar raiz de número negativo e não queremos divisão por zero). Então, temos que:
36 - x^2 - y^2 > 0
Isso garante que o denominador não seja zero e que a raiz seja real.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda parte da função: raizx - 1 . Novamente, para a raiz quadrada ser válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Portanto:
x - 1 >= 0
Isso nos diz que x precisa ser pelo menos 1.

Passo 4

Vamos resolver as desigualdades que encontramos:
  1. Para a primeira parte:
36 - x^2 - y^2 > 0
Podemos reescrever isso como:
x^2 + y^2 < 36
Essa é a equação de um círculo com raio 6 centrado na origem. Isso significa que os pontos (x, y) devem estar dentro desse círculo.
  1. Para a segunda parte:
x - 1 >= 0
Simplificando:
x >= 1
Isso define que x deve ser pelo menos 1.

Passo 5

Agora, vamos combinar essas duas condições para encontrar o domínio completo da função.
  • A primeira condição x^2 + y^2 < 36 define um círculo aberto de raio 6.
  • A segunda condição x >= 1 define a região à direita da reta x = 1 .
Para que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo, os pontos (x, y) devem estar dentro do círculo de raio 6 e à direita da reta x = 1 .

Passo 6

Para esboçar o domínio:
  1. Desenhe um círculo com raio 6 centrado na origem.
  2. Desenhe a reta vertical x = 1 .
  3. Identifique a região dentro do círculo e à direita da reta x = 1 .
Essa área sombreada representa todos os pontos (x, y) para os quais a função f(x, y) está definida.

Resposta

O domínio da função f(x, y) = 5raiz36 - x^2 - y^2 + raizx - 1 é o conjunto de todos os pares (x, y) tais que:
x^2 + y^2 < 36 e x >= 1
Em outras palavras, é a região dentro do círculo de raio 6 centrado na origem e à direita da reta x = 1 .

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