Verifique se os conjuntos a seguir são bases do espaço vetorial V.
B=[cc1 & -1 0 & 0],[cc0 & -3 0 & 0],[ll1 & 0 1 & 0],[ll0 & 0 0 & 1] de V=M2 times 2(R).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B=,1 & -10 & 0,; 0 & -30 & 0,; 1 & 01 & 0,; 0 & 00 & 1
é uma base do espaço vetorial V=M2times2(R).
Como M2times2(R) tem dimensão 4, basta mostrar que esses 4 vetores são linearmente independentes (ou que geram V).

Passo 2

Recordando que uma família de 4 vetores em um espaço de dimensão 4 é base se, e somente se, for linearmente independente. Vamos checar independência: suponha escalares alpha,beta,gamma,de<ainR tais que
alpha1 & -10 & 0 +beta0 & -30 & 0 +gamma1 & 01 & 0 +de<a0 & 00 & 1 =0 & 00 & 0

Passo 3

Somando termo a termo, obtemos o sistema de equações para cada entrada da matriz nula:
alpha + gamma = 0, -alpha -3beta = 0, gamma = 0, de<a = 0

Passo 4

Resolvendo:
  • Da terceira equação vem gamma=0.
  • Substituindo em alpha+gamma=0 alpha=0.
  • De -alpha-3beta=0 com alpha=0 segue beta=0.
  • E da quarta equação de<a=0.
Como a única solução é alpha=beta=gamma=de<a=0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim. B é uma base de M2times2(R).

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