Considere a função T: R^3 R^3 ; T(x, y, z)=(x-y, x-z, y-z)
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a função
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x - y,;x - z,;y - z)
e pede para mostrarmos que T é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de linearidade, que exige duas propriedades para quaisquer vetores u,vinR^3 e escalar alphainR:
  1. T(u+v) = T(u) + T(v) (aditividade)
  2. T(alpha,u) = alpha,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Sejam
u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2)
Então
u+v = (x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)
Aplicando T a u+v temos
T(u+v)=l((x1+x2)-(y1+y2),,(x1+x2)-(z1+z2),,(y1+y2)-(z1+z2)r)
Reagrupando termos:
T(u+v) =(x1-y1 + x2-y2,;x1-z1 + x2-z2,;y1-z1 + y2-z2)
Isso é exatamente
(x1-y1,;x1-z1,;y1-z1)+(x2-y2,;x2-z2,;y2-z2) = T(u) + T(v)

Passo 3

Agora tomemos alphainR e o vetor u=(x1,y1,z1). Então
alpha,u = (alpha x1,;alpha y1,;alpha z1),
e
T(alpha,u) =l(alpha x1 - alpha y1,;alpha x1 - alpha z1,;alpha y1 - alpha z1r)
Como podemos fatorar alpha, vem
T(alpha,u) =alpha,(x1-y1,;x1-z1,;y1-z1) =alpha,T(u)

Passo 4

Mostramos que para quaisquer u,vinR^3 e alphainR valem
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(alpha,u)=alpha,T(u)
Essas duas propriedades são exatamente a definição de transformação linear.

Resposta

A função T é linear porque satisfaz aditividade e homogeneidade.

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