Considere a função
Mostre que
é uma transformação linear.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrarmos que
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de linearidade, que exige duas propriedades para quaisquer vetores
e escalar
:
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 2
Sejam
Então
Aplicando
a
temos
Reagrupando termos:
Isso é exatamente
Passo 3
Agora tomemos
e o vetor
. Então
e
Como podemos fatorar
, vem
Passo 4
Mostramos que para quaisquer
e
valem
Essas duas propriedades são exatamente a definição de transformação linear.
Resposta
A função
é linear porque satisfaz aditividade e homogeneidade.