1- Encontre o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=2 x i+2 y j+3 z k através do sólido fechado, delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=1, com orientação para fora.

Passo 1

Aqui a gente quer achar o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=2x,vec i + 2y,vec j + 3z,vec k através da superfície fechada pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=1. É um cenário clássico para usar o Teorema da Divergência.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que o fluxo de F pela superfície orientada para fora é dado por
integral duplaS Fcdot n,dS = integral triplaV div,F,dV,
então a gente só precisa calcular div,F e integrar sobre o volume do tetraedro.

Passo 3

Vamos calcular a divergência:
div,F = partialpartial x(2x)+partialpartial y(2y)+partialpartial z(3z) = 2 + 2 + 3 = 7

Passo 4

O sólido é o tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). A gente lembra que o volume desse tetraedro vale
V = 1cdot1cdot16 = 16

Passo 5

Por fim, aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo é
integral duplaS Fcdot n,dS = integral triplaV 7,dV = 7 times 16 = 76

Resposta

\tfrac{7}{6}

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