Questão 3 - Um engenheiro está testando diferentes modelos de cabos para sustentar uma ponte. O cálculo da resistência envolve resolver a equação:
F(x)=x^{2}+4 x+k=0
onde k depende do tipo de material. Determine os valores de k para que a equação tenha:
Duas soluções reais distintas,

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
F(x)=x^{2}+4x+k=0
e pede: determinar os valores de k para que a equação tenha duas soluções reais distintas.
Informações relevantes que temos:
a=1,\qquad b=4,\qquad c=k
são os coeficientes da parábola; precisamos traduzir “duas soluções reais distintas” numa condição algébrica sobre k.

Passo 2

A ferramenta padrão para discutir o número e o tipo de raízes de uma equação quadrática é o discriminante. Vou explicar com calma o que é e por que ele funciona. Para uma equação geral
ax^{2}+bx+c=0,
o discriminante é definido por
\Delta=b^{2}-4ac.
O motivo: a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) dá as raízes como
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Então:
  • se \Delta>0, \sqrt{\Delta} é positivo e as duas raízes \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} são reais e distintas;
  • se \Delta=0, as duas expressões coincidem e há uma raiz real dupla;
  • se \Delta<0, \sqrt{\Delta} é imaginário e as raízes são complexas (não-reais).
    Portanto, para ter duas soluções reais distintas precisamos exigir \Delta>0.

Passo 3

Agora aplicamos isso ao nosso caso, com a=1, b=4, c=k. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot 1\cdot k=16-4k.

Passo 4

Impondo a condição de duas raízes reais distintas \Delta>0, temos a desigualdade
16-4k>0.
Vamos resolver passo a passo:
16-4k>0
Dividindo ambos os lados por 4 (lembrando que 4>0 então a desigualdade não se inverte),
4-k>0.
Reescrevendo para isolar k:
-k>-4\quad\Rightarrow\quad k<4.
(Expliquei a passagem para isolar k de forma a mostrar quando a desigualdade trocaria sinal se dividíssemos por número negativo — aqui não ocorre porque dividimos por 4>0.)

Passo 5

Interpretação final e exemplos rápidos para fixar:
  • Para qualquer k tal que k<4 a equação tem duas raízes reais e diferentes. Ex.: se k=0 a equação é x^{2}+4x=0 com raízes x=0 e x=-4.
  • No caso limite k=4 temos \Delta=0 e existe uma raiz real dupla.
  • Se k>4 então \Delta<0 e as raízes são complexas (não reais).

Resposta

k<4

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