Questão 3 - Um engenheiro está testando diferentes modelos de cabos para sustentar uma ponte. O cálculo da resistência envolve resolver a equação:
onde k depende do tipo de material. Determine os valores de k para que a equação tenha:
Duas soluções reais distintas,
Duas soluções reais distintas,
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede: determinar os valores de
para que a equação tenha duas soluções reais distintas.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
são os coeficientes da parábola; precisamos traduzir “duas soluções reais distintas” numa condição algébrica sobre
.
Passo 2
A ferramenta padrão para discutir o número e o tipo de raízes de uma equação quadrática é o discriminante. Vou explicar com calma o que é e por que ele funciona. Para uma equação geral
o discriminante é definido por
O motivo: a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) dá as raízes como
Então:
- se
, é positivo e as duas raízes são reais e distintas; - se
, as duas expressões coincidem e há uma raiz real dupla; - se
, é imaginário e as raízes são complexas (não-reais).
Portanto, para ter duas soluções reais distintas precisamos exigir.
Passo 3
Agora aplicamos isso ao nosso caso, com
,
,
. Calculamos o discriminante:
Passo 4
Impondo a condição de duas raízes reais distintas
, temos a desigualdade
Vamos resolver passo a passo:
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
então a desigualdade não se inverte),
Reescrevendo para isolar
:
(Expliquei a passagem para isolar
de forma a mostrar quando a desigualdade trocaria sinal se dividíssemos por número negativo — aqui não ocorre porque dividimos por
.)
Passo 5
Interpretação final e exemplos rápidos para fixar:
- Para qualquer
tal que a equação tem duas raízes reais e diferentes. Ex.: se a equação é com raízes e . - No caso limite
temos e existe uma raiz real dupla. - Se
então e as raízes são complexas (não reais).