Use o Teste da Integral para determinar se a série é conve ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e{-n{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}}
é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é a_n = n^{2} e^{-n^{3}}.
  • Para n\ge 1, os termos a_n são positivos (pois n^{2}>0 e e^{-n^{3}}>0).
  • Não há soma fechada pedida; só precisamos decidir convergência/divergência.

Passo 2

Escolha do método: vou aplicar o Teste da Integral (também chamado de critério integral). Antes de aplicar, preciso explicar o que é esse teste e suas condições, de modo didático.
O Teste da Integral diz o seguinte (versão informal e prática):
  • Seja f(x) uma função contínua, positiva e decrescente para x\ge 1.
  • Se definirmos a_n = f(n), então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral impropria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx for finita (convergente). Se a integral divergir, a série também diverge.
Explicação rápida do porquê (intuição): para funções decrescentes positivas, a soma das áreas de retângulos de largura 1 e altura f(n) está comparada com a área sob a curva f(x). Então analisar a integral é equivalente a analisar a soma assintoticamente.
Vou usar o Teste da Integral porque:
  • O termo geral é dado por uma expressão de função f(x)=x^{2} e^{-x^{3}} avaliada em inteiros, e essa função é contínua e positiva para x\ge1.
  • A integral de f pode ser calculada de maneira simples com uma substituição (mudança de variável).

Passo 3

Verificar as condições do teste (contínua, positiva, decrescente):
  1. Continuidade e positividade: para x\ge 1, temos x^{2}>0 e e^{-x^{3}}>0, então f(x)=x^{2} e^{-x^{3}} é positiva e é produto de funções contínuas, logo contínua em [1,\infty).
  2. Monotonicidade (decrescente) para aplicar o teste: calculamos a derivada de f.
f(x)=x^{2} e^{-x^{3}}
Derivando (regra do produto e da cadeia):
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)\,e^{-x^{3}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}\big(e^{-x^{3}}\big).
Calculando cada parte:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x, \qquad \frac{d}{dx}\big(e^{-x^{3}}\big)=e^{-x^{3}}\cdot(-3x^{2}).
Logo
f'(x)=2x e^{-x^{3}} + x^{2}\big(-3x^{2} e^{-x^{3}}\big) = e^{-x^{3}}\big(2x - 3x^{4}\big).
Fatorando:
f'(x)=e^{-x^{3}}\,x\,(2 - 3x^{3}).
Agora, para x\ge 1 temos x>0 e e^{-x^{3}}>0. Observe 2-3x^{3}\le 2-3=-1<0 quando x\ge 1. Logo f'(x)<0 para todo x\ge 1. Isso prova que f é decrescente em [1,\infty).
Portanto, as condições do Teste da Integral estão satisfeitas: f é contínua, positiva e decrescente para x\ge1.

Passo 4

Calcular a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{1}^{\infty} x^{2} e^{-x^{3}}\,dx.
Vou fazer a substituição clássica para integrar funções da forma x^{2} e^{-x^{3}}:
Defina \displaystyle u = x^{3}. Então \displaystyle du = 3x^{2}\,dx, ou seja
x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Quando x=1, temos u=1^{3}=1. Quando x\to\infty, temos u\to\infty. Substituindo na integral:
\int_{1}^{\infty} x^{2} e^{-x^{3}}\,dx = \int_{u=1}^{u=\infty} e^{-u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{1}^{\infty} e^{-u}\,du.
Agora integramos \displaystyle \int e^{-u}\,du = -e^{-u}. Então
\frac{1}{3}\int_{1}^{\infty} e^{-u}\,du = \frac{1}{3}\Big[-e^{-u}\Big]_{1}^{\infty}.
Avaliaremos os limites: \lim_{u\to\infty} e^{-u} = 0. Portanto
\frac{1}{3}\Big(-0 - \big(-e^{-1}\big)\Big) = \frac{1}{3} e^{-1}.
Esse é um número finito (positivo). Conclusão: a integral imprópria converge.

Passo 5

Concluir pela aplicação do Teste da Integral: como a função f(x)=x^{2} e^{-x^{3}} é contínua, positiva e decrescente para x\ge1 e a integral \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (vale \tfrac{1}{3}e^{-1}), então a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}}
converge.
Comentário de reforço (didático e prático): aqui a queda exponencial bem forte de e^{-x^{3}} domina o crescimento polinomial x^{2}, fazendo os termos decrescerem rápido o suficiente para a soma ser finita. Se você quiser um olhar rápido sem integral, basta notar que n^{2} e^{-n^{3}} \le e^{-n^{3}/2} para n suficientemente grande (porque n^{2} \le e^{n^{3}/2} para grandes n), e séries com termo do tipo e^{-c n^{3}} convergem extremamente rápido — mas a integral acima já foi a demonstração elegante e direta.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados