Use o Teste da Integral para determinar se a série é conve ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e{-n{3}}
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e{-n{3}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O termo geral da série é
. - Para
, os termos são positivos (pois e ). - Não há soma fechada pedida; só precisamos decidir convergência/divergência.
Passo 2
Escolha do método: vou aplicar o Teste da Integral (também chamado de critério integral). Antes de aplicar, preciso explicar o que é esse teste e suas condições, de modo didático.
O Teste da Integral diz o seguinte (versão informal e prática):
- Seja
uma função contínua, positiva e decrescente para . - Se definirmos
, então a série converge se, e somente se, a integral impropria for finita (convergente). Se a integral divergir, a série também diverge.
Explicação rápida do porquê (intuição): para funções decrescentes positivas, a soma das áreas de retângulos de largura
e altura
está comparada com a área sob a curva
. Então analisar a integral é equivalente a analisar a soma assintoticamente.
Vou usar o Teste da Integral porque:
- O termo geral é dado por uma expressão de função
avaliada em inteiros, e essa função é contínua e positiva para . - A integral de
pode ser calculada de maneira simples com uma substituição (mudança de variável).
Passo 3
Verificar as condições do teste (contínua, positiva, decrescente):
-
Continuidade e positividade: para
, temos e , então é positiva e é produto de funções contínuas, logo contínua em . -
Monotonicidade (decrescente) para aplicar o teste: calculamos a derivada de
.
Derivando (regra do produto e da cadeia):
Calculando cada parte:
Logo
Fatorando:
Agora, para
temos
e
. Observe
quando
. Logo
para todo
. Isso prova que
é decrescente em
.
Portanto, as condições do Teste da Integral estão satisfeitas:
é contínua, positiva e decrescente para
.
Passo 4
Calcular a integral imprópria
.
Vou fazer a substituição clássica para integrar funções da forma
:
Defina
. Então
, ou seja
Quando
, temos
. Quando
, temos
. Substituindo na integral:
Agora integramos
. Então
Avaliaremos os limites:
. Portanto
Esse é um número finito (positivo). Conclusão: a integral imprópria converge.
Passo 5
Concluir pela aplicação do Teste da Integral: como a função
é contínua, positiva e decrescente para
e a integral
converge (vale
), então a série
converge.
Comentário de reforço (didático e prático): aqui a queda exponencial bem forte de
domina o crescimento polinomial
, fazendo os termos decrescerem rápido o suficiente para a soma ser finita. Se você quiser um olhar rápido sem integral, basta notar que
para
suficientemente grande (porque
para grandes
), e séries com termo do tipo
convergem extremamente rápido — mas a integral acima já foi a demonstração elegante e direta.
Resposta
A série converge.