Passo 1
O enunciado nos dá dois sistemas lineares homogêneos
e
O conteúdo aqui é solução de sistemas com coeficientes constantes via autovalores e autovetores, incluindo a parte real de autovetores complexos.
Passo 2
Para o sistema 7 calculamos o polinômio característico de
A7 . Como
A7 é triangular por blocos,
Logo os autovalores são
Passo 3
Ainda no sistema 7, achamos um autovetor real para
lambda1=1 resolvendo
(A7 - I)v=0 . Isso dá
e, escolhendo
v1=2 , fica
Para
lambda=1+2i um autovetor é
cuja parte real é
p=(0,1,0)^T e parte imaginária é
q=(0,0,-1)^T .
Passo 4
A solução geral real do sistema 7 combina três soluções independentes:
Portanto
Passo 5
Para o sistema 8 calculamos o polinômio característico de
A8 :
logo
Passo 6
No sistema 8, para
lambda1=-2 resolvemos
(A8+2I)v=0 e obtemos o autovetor
Para
lambda=-1+iraiz2 um autovetor é
cuja parte real é
p=(0,1,-1)^T e parte imaginária é
q=(raiz2,0,raiz2)^T .
Passo 7
A solução geral real do sistema 8 é
Resposta
Para o sistema 7:
Para o sistema 8: