ll 7 & x^prime=(rrr 1 & 0 & 0 2 & 1 & -2 3 & 2 & 1 ) x 8 x^prime=(rrr -3 & 0 & 2 1 & -1 & 0 -2 & -1 & 0 ) x

Passo 1

O enunciado nos dá dois sistemas lineares homogêneos
x' = A7,x, A7 = 1&0&02&1&-23&2&1,
e
x' = A8,x, A8 = -3&0&21&-1&0-2&-1&0
O conteúdo aqui é solução de sistemas com coeficientes constantes via autovalores e autovetores, incluindo a parte real de autovetores complexos.

Passo 2

Para o sistema 7 calculamos o polinômio característico de A7. Como A7 é triangular por blocos,
det(A7 - lambda I) ;=;(1-lambda),det!1-lambda&-22&1-lambda ;=;(1-lambda)l((1-lambda)^2+4r)=0
Logo os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2,3=1pm 2,i

Passo 3

Ainda no sistema 7, achamos um autovetor real para lambda1=1 resolvendo (A7 - I)v=0. Isso dá
v1 = v3, v2 = -tfrac32,v1,
e, escolhendo v1=2, fica
v^(1) = 2-32
Para lambda=1+2i um autovetor é
u = 01-i,
cuja parte real é p=(0,1,0)^T e parte imaginária é q=(0,0,-1)^T.

Passo 4

A solução geral real do sistema 7 combina três soluções independentes:
e^t,v^(1), e^tl(pcos2t - qsin2tr), e^tl(psin2t + qcos2tr)
Portanto
x(t) = C1,e^t2-32 + e^tl[ C20cos2tsin2t + C30sin2t-cos2t r]

Passo 5

Para o sistema 8 calculamos o polinômio característico de A8:
det(A8 - lambda I) = lambda^3 +4lambda^2 +7lambda +6 = (lambda+2),(lambda^2+2lambda+3)=0,
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lambda1 = -2, lambda2,3 = -1pm iraiz2

Passo 6

No sistema 8, para lambda1=-2 resolvemos (A8+2I)v=0 e obtemos o autovetor
v^(1) = 2-21
Para lambda=-1+iraiz2 um autovetor é
u = iraiz21-1+iraiz2,
cuja parte real é p=(0,1,-1)^T e parte imaginária é q=(raiz2,0,raiz2)^T.

Passo 7

A solução geral real do sistema 8 é
x(t) = C1,e^-2t2-21 + e^-tl[ C2l(pcos(raiz2,t)-qsin(raiz2,t)r) + C3l(psin(raiz2,t)+qcos(raiz2,t)r) r]

Resposta

Para o sistema 7:
boxed x(t) = C1,e^t2-32 + e^tl[ C20cos2tsin2t + C30sin2t-cos2t r]
Para o sistema 8:
boxed x(t) = C1,e^-2t2-21 + e^-tl[ C2l(01-1cos(raiz2,t) -raiz20raiz2sin(raiz2,t)r) + C3l(01-1sin(raiz2,t) +raiz20raiz2cos(raiz2,t)r) r]

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