Considere a função f(x)=cllx^2, & se & x <= 1 2, & se & x>1
a) f é contínua em x=1 ?
b) f é derivável em x=1 ?

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)= x^2,&se x<=1, 2,&se x>1,
e pergunta (a) se f é contínua em x=1 e (b) se f é derivável em x=1. Para (a) vamos usar a definição de continuidade (limite à esquerda, limite à direita e valor da função devem coincidir). Para (b) vamos calcular as derivadas laterais em x=1 e verificar se batem.

Passo 2

Verificando continuidade em x=1:
– Limite pela esquerda:
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1^2=1
– Limite pela direita:
limxto1^+f(x)=limxto1^+2=2
– Valor da função:
f(1)=1^2=1
Como limxto1^-f(x)=1neq2=limxto1^+f(x), o limite limxto1f(x) não existe. Logo f não é contínua em x=1.

Passo 3

Verificando derivabilidade em x=1:
Para existir derivada em x=1, f precisa ser contínua lá. Como já vimos que não é contínua, f não pode ser derivável em x=1.
Podemos também ver pelas derivadas laterais:
– Derivada à esquerda:
f'-(1)=limhto0^-(1+h)^2-1^2h =limhto0^-2h+h^2h=2
– Derivada à direita:
f'+(1)=limhto0^+2-2h=0
Como f'-(1)=2neq0=f'+(1), a derivada lateral também não coincide.

Resposta

a) Não, f não é contínua em x=1.
b) Não, f não é derivável em x=1.

Exercícios relacionados