(3,0 pontos) Resolva o PVI a seguir.
l y^prime prime prime+2 y^prime prime=3 e^t, y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de uma equação diferencial com condições iniciais. O enunciado é:
l y^prime prime prime+2 y^prime prime=3 e^t, y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=-1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y^prime prime prime + 2 y^prime prime = 0
Para isso, encontramos a equação característica substituindo y = e^rt :
r^3 + 2 r^2 = 0
Fatorando:
r^2 (r + 2) = 0
Assim, as raízes são r = 0 (com multiplicidade 2) e r = -2 .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yc(t) = A + B t + C e^-2 t
Aqui, A , B e C são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
y^prime prime prime + 2 y^prime prime = 3 e^t
Como o lado direito é 3 e^t e e^t não é solução da equação homogênea, assumimos uma solução particular na forma:
yp(t) = D e^t

Passo 5

Vamos derivar yp(t) para substituir na equação:
yp' = D e^t yp'' = D e^t yp''' = D e^t
Substituindo na equação original:
D e^t + 2 D e^t = 3 D e^t = 3 e^t
Isso nos dá 3 D e^t = 3 e^t , portanto D = 1 .
Então, a solução particular é:
yp(t) = e^t

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(t) = yc(t) + yp(t) = A + B t + C e^-2 t + e^t

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes A , B e C .
  1. Para t = 0 :
y(0) = A + B cdot 0 + C cdot e^0 + e^0 = A + C + 1 = -1
A + C = -2 (Equação 1) çã
  1. Derivando y(t) :
y'(t) = B - 2 C e^-2 t + e^t
Para t = 0 :
y'(0) = B - 2 C + 1 = -1
B - 2 C = -2 (Equação 2) çã
  1. Derivando novamente:
y''(t) = 4 C e^-2 t + e^t
Para t = 0 :
y''(0) = 4 C + 1 = -1
4 C = -2 implies C = -0.5 (Valor de C)

Passo 8

Com C = -0.5 , vamos resolver as Equações 1 e 2 para encontrar A e B :
  1. Equação 1:
A - 0.5 = -2 implies A = -1.5
  1. Equação 2:
B - 2(-0.5) = -2 implies B + 1 = -2 implies B = -3

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = -1.5 - 3 t - 0.5, e^-2 t + e^t

Exercícios relacionados