(3,0 pontos) Resolva o PVI a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de uma equação diferencial com condições iniciais. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, encontramos a equação característica substituindo
:
Fatorando:
Assim, as raízes são
(com multiplicidade 2) e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
e
não é solução da equação homogênea, assumimos uma solução particular na forma:
Passo 5
Vamos derivar
para substituir na equação:
Substituindo na equação original:
Isso nos dá
, portanto
.
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
,
e
.
- Para
:
- Derivando
:
Para
:
- Derivando novamente:
Para
:
Passo 8
Com
, vamos resolver as Equações 1 e 2 para encontrar
e
:
- Equação 1:
- Equação 2:
Resposta
A solução do problema é: