Determine a solução geral das equações abaixo.
(3,0 pontos)
y^(5)-y^(4)-2 y^prime prime prime=0,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial y^(5) - y^(4) - 2 y''' = 0 . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente envolvendo equações lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que envolve determinar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em sua equação característica. Para uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, a equação característica é obtida substituindo y^(n) por r^n . Então, temos:
r^5 - r^4 - 2 r^3 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação característica r^5 - r^4 - 2 r^3 = 0 . Podemos fatorar r^3 da expressão:
r^3(r^2 - r - 2) = 0

Passo 4

Isso nos dá duas partes para resolver: r^3 = 0 e r^2 - r - 2 = 0 .
Para r^3 = 0 , a única solução é r = 0 com multiplicidade 3.
Para r^2 - r - 2 = 0 , usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Isso resulta em r = 2 e r = -1 .

Passo 5

Agora que temos todas as raízes da equação característica:
  • r = 0 com multiplicidade 3
  • r = 2
  • r = -1
Podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz real simples r , adicionamos um termo da forma C e^r x . Para raízes múltiplas, multiplicamos por potências de x até a multiplicidade.
Então, temos:
y(x) = C1 + C2 x + C3 x^2 + C4 e^2x + C5 e^-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 + C2 x + C3 x^2 + C4 e^2x + C5 e^-x

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