Determine a solução geral das equações abaixo.
(3,0 pontos)
,
(3,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente envolvendo equações lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que envolve determinar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em sua equação característica. Para uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, a equação característica é obtida substituindo
por
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação característica
. Podemos fatorar
da expressão:
Passo 4
Isso nos dá duas partes para resolver:
e
.
Para
, a única solução é
com multiplicidade 3.
Para
, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Isso resulta em
e
.
Passo 5
Agora que temos todas as raízes da equação característica:
-
com multiplicidade 3 -
-
Podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz real simples
, adicionamos um termo da forma
. Para raízes múltiplas, multiplicamos por potências de
até a multiplicidade.
Então, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: