Considere a função complexa definida por
f(z)=\left\{\begin{array}{cc} z^{2}, & z \neq i \\\\ 0, & z=i \end{array}\right.
Justificando sua resposta, determine se:
(a) f(z) é contínua.
(b) \mathrm{f}(\mathrm{z}) é analítica.

Passo 1

O enunciado fornece a função complexa
f(z)=\begin{cases} z^{2}, & z\neq i,\\[4pt] 0, & z=i. \end{cases}
As perguntas que precisamos responder são duas, e separo-as claramente:
(a) Determinar se f(z) é contínua (em que pontos é contínua ou não).
(b) Determinar se f(z) é analítica (holomorfa) — ou seja, onde f é diferenciável como função complexa em aberto.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Para todo z diferente de i, f(z)=z^{2}.
  • No ponto z=i, foi definida a imagem f(i)=0.]

Passo 2

Relembrando o que significa “contínua” em termos práticos (aula rápida e direta).
Uma função complexa f é contínua em um ponto z_{0} se, quando z se aproxima de z_{0}, os valores f(z) se aproximam de f(z_{0}). Formalmente:
\lim_{z\to z_{0}} f(z)=f(z_{0}).
Para verificar continuidade, basta comparar o limite \lim_{z\to z_{0}} f(z) com o valor f(z_{0}). Se forem iguais, é contínua em z_{0}; se não, é descontínua. Esse é o critério que vamos aplicar.

Passo 3

Verificação da continuidade em pontos z_{0}\neq i.
Se z_{0}\neq i, existe uma vizinhança de z_{0} que não contém i. Nessa vizinhança, f(z)=z^{2}. Sabendo que a função polinomial z\mapsto z^{2} é contínua em toda parte (polinômios são contínuos em \mathbb{C}), segue que
\lim_{z\to z_{0}} f(z)=\lim_{z\to z_{0}} z^{2}=z_{0}^{2}=f(z_{0}).
Logo, f é contínua em todo ponto z_{0}\neq i. Em linguagem curta: f é contínua em \mathbb{C}\setminus\{i\}.

Passo 4

Verificação da continuidade no ponto z_{0}=i.
Precisamos calcular \lim_{z\to i} f(z) (ou seja, o limite vindo dos valores para z\neq i) e comparar com f(i)=0.
Para z\neq i temos f(z)=z^{2}. Então
\lim_{z\to i} f(z)=\lim_{z\to i} z^{2}.
Usando uma fatoração útil para polinômios, escrevemos
z^{2}-(-1)=(z-i)(z+i),
porque i^{2}=-1. Assim
|z^{2}+1|=|z-i|\,|z+i|.
Quando z\to i, tem-se |z-i|\to 0 e |z+i|\to |i+i|=|2i|=2, logo o produto tende a 0. Portanto
\lim_{z\to i} z^{2}=-1.
Como f(i)=0 e -1\neq 0, concluímos que
\lim_{z\to i} f(z)=-1 \neq f(i)=0.
Portanto f não é contínua em z=i.

Passo 5

Resumo da parte de continuidade (para fixar):
  • f é contínua em todos os pontos z\neq i.
  • f é descontínua no ponto z=i.
    É suficiente para responder (a): a função não é contínua em todo \mathbb{C} (falha em i), mas é contínua em \mathbb{C}\setminus\{i\}.

Passo 6

Agora vamos ao conceito de “analítica” (holomorfa) e como testá-lo — outra aulinha prática.
Uma função complexa é analítica em um ponto z_{0} se existe uma vizinhança aberta de z_{0} onde f é complexamente diferenciável em cada ponto dessa vizinhança. Em particular, para ser analítica em z_{0} é necessário, entre outras coisas, que f seja diferenciável em z_{0} (o que implica continuidade em z_{0}): diferenciabilidade complexa implica continuidade. Logo, se f não é contínua em z_{0}, ela certamente não é analítica ali.

Passo 7

Verificação da analiticidade em pontos z_{0}\neq i.
Como já vimos, para z\neq i vale f(z)=z^{2}. A função z\mapsto z^{2} é inteira (analítica em toda \mathbb{C}); seu derivado é 2z. Assim, em qualquer ponto z_{0}\neq i existe uma vizinhança onde f coincide com o polinômio z^{2}, portanto f é analítica em todo z_{0}\neq i. Em outras palavras, f é analítica em \mathbb{C}\setminus\{i\}.

Passo 8

Verificação da analiticidade em z_{0}=i. Dois argumentos possíveis — escolho os dois para ficar claro e didático.
Argumento 1 (pela continuidade): já demonstramos que f é descontínua em i. Como diferenciabilidade complexa implica continuidade, f não pode ser diferenciável em i. Logo não é analítica em i.
Argumento 2 (mostrando o quociente diferencial não tem limite): para testar a derivada em i calcule o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(i+h)-f(i)}{h}.
Para h\neq 0 pequeno temos f(i+h)=(i+h)^{2} (pois i+h\neq i), e f(i)=0. Assim
\frac{f(i+h)-f(i)}{h}=\frac{(i+h)^{2}-0}{h}=\frac{i^{2}+2ih+h^{2}}{h}=\frac{-1}{h}+2i+h.
O termo \dfrac{-1}{h} não possui limite finito quando h\to 0 no sentido complexo (ele diverge ou oscila dependendo da direção de aproximação). Portanto o quociente não tem limite, a derivada em i não existe. Conclusão: f não é diferenciável em i e, portanto, não é analítica em qualquer vizinhança que contenha i.

Passo 9

Conclusões finais sobre analiticidade (fixando):
  • f é analítica em todo ponto de \mathbb{C}\setminus\{i\} porque coincide localmente com z^{2}.
  • f não é analítica em i (nem mesmo diferenciável aí), portanto f não é analítica em todo \mathbb{C}.

Resposta

(a) f é contínua em \mathbb{C}\setminus\{i\} e descontínua em i.
(b) f é analítica em \mathbb{C}\setminus\{i\} e não é analítica em i (portanto não é analítica em todo \mathbb{C}).

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