(a) Defina uma função de uma variável complexa.
(b)Estabeleça sua representação em coordenadas polares.
(c) Se
, qual a parte real e imaginária.
(d) Qual o domínio da função?
(b)Estabeleça sua representação em coordenadas polares.
(c) Se
(d) Qual o domínio da função?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
-
O enunciado faz quatro pedidos:
(a) Definir o que é uma função de uma variável complexa.
(b) Estabelecer a representação de uma variável complexa em coordenadas polares.
(c) Para, encontrar a parte real e a parte imaginária de .
(d) Determinar o domínio de. -
Informação explícita que vem do enunciado: a função dada é
Passo 2
Definição (passo-a-passo, sem mistério): o que é uma função de uma variável complexa.
- Uma função de variável complexa é um mapeamento que associa a cada número complexo
de um conjunto (o domínio) um número complexo . Formalmente:
onde
é o conjunto de entrada permitido.
-
Explicando as palavras:
-
é a variável complexa de entrada; escrevemos geralmente , com . -
é o valor da função, que também é um número complexo e pode ser escrito como , onde e são funções reais de duas variáveis (as partes real e imaginária de ). - O domínio
é o conjunto de para os quais a fórmula de faz sentido (por exemplo, evitando divisões por zero).
-
-
Exemplos rápidos, só pra ficar claro:
-
é uma função com . -
tem domínio porque em ocorre divisão por zero.
-
Passo 3
Representação em coordenadas polares (conceitos e fórmulas essenciais).
- Todo número complexo
pode ser escrito em coordenadas cartesianas:
onde
e
.
- Em coordenadas polares escreve-se:
onde:
-
é o módulo (distância do ponto à origem), -
é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real), normalmente tomado em ou . - As relações entre as coordenadas são
- A conjugada em coordenadas polares é
- Observação útil: expressões como
frequentemente simplificam em termos de e porque .
Passo 4
Como extrair a parte real e imaginária em geral (relembrando técnica que vai ser usada no item (c)).
- Se
é dada por uma expressão algébrica em e , substitui-se e e separa-se a expressão resultante em parte real (coeficiente sem ) e parte imaginária (coeficiente que multiplica ). - Alternativamente, usando coordenadas polares escreve-se
em termos de e e usa-se para separar as partes real e imaginária.
Passo 5
Aplicando isso ao caso
: cálculo em coordenadas cartesianas (
).
- Escrevendo
e em termos de e :
- Soma no denominador:
Observação:
é um número real — isso simplifica muito a conta.
- Portanto, sempre que
(ou seja, ) podemos dividir:
-
Assim, separando explicitamente:
- Parte real:
- Parte imaginária:
-
Comentário pedagógico: repara que a parte real é constante igual a
para todos os pontos do domínio, enquanto a parte imaginária depende da razão .
Passo 6
Mesma expressão, agora em coordenadas polares (para ver outra forma e entender singularidades).
- Em coordenadas polares usamos
e . Então
- Se
(isto é, e ), temos
- Usando
obtemos
- Observação de consistência: como
, a expressão polar coincide com a expressão cartesiana encontrada antes:
- Importante: na forma polar o módulo
cancela — a função não depende de (ou seja, varia com a direção e não com a distância ao origem).
Passo 7
Análise do domínio (explicando onde a expressão faz sentido).
- A única possível singularidade na fórmula original é onde o denominador se anula:
- Escrevendo
isso equivale a
Isto é, ocorre divisão por zero para todos os pontos com
, ou seja, para todos os
do eixo imaginário.
-
Em coordenadas polares a condição de denominador nulo é
, que acontece quando (origem) ou quando (direções , ou seja, eixo imaginário). Ambos correspondem a . -
Conclusão clara e prática:
ou, na linguagem cartesiana,
Em polar:
Resposta
(a) Uma função de variável complexa é um mapeamento
que associa a cada
um complexo
, onde
com
e
.
(b) Em coordenadas polares
com
e
. As relações são
,
e
.
(c) Para
temos, sempre que
,
Em polar (quando definido) isso é
(d)
.