(a) Defina uma função de uma variável complexa.
(b)Estabeleça sua representação em coordenadas polares.
(c) Se f(z)=\frac{z}{z+\bar{z}}, qual a parte real e imaginária.
(d) Qual o domínio da função?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado faz quatro pedidos:
    (a) Definir o que é uma função de uma variável complexa.
    (b) Estabelecer a representação de uma variável complexa em coordenadas polares.
    (c) Para f(z)=\dfrac{z}{z+\bar{z}}, encontrar a parte real e a parte imaginária de f(z).
    (d) Determinar o domínio de f.
  • Informação explícita que vem do enunciado: a função dada é
f(z)=\dfrac{z}{z+\bar{z}}.

Passo 2

Definição (passo-a-passo, sem mistério): o que é uma função de uma variável complexa.
  • Uma função de variável complexa é um mapeamento que associa a cada número complexo z de um conjunto D (o domínio) um número complexo w. Formalmente:
f: D \to \mathbb{C},
onde D\subseteq\mathbb{C} é o conjunto de entrada permitido.
  • Explicando as palavras:
    • z é a variável complexa de entrada; escrevemos geralmente z=x+iy, com x,y\in\mathbb{R}.
    • w=f(z) é o valor da função, que também é um número complexo e pode ser escrito como w=u(x,y)+i\,v(x,y), onde u e v são funções reais de duas variáveis (as partes real e imaginária de f).
    • O domínio D é o conjunto de z para os quais a fórmula de f faz sentido (por exemplo, evitando divisões por zero).
  • Exemplos rápidos, só pra ficar claro:
    • f(z)=z^2 é uma função com D=\mathbb{C}.
    • g(z)=1/z tem domínio D=\mathbb{C}\setminus\{0\} porque em z=0 ocorre divisão por zero.

Passo 3

Representação em coordenadas polares (conceitos e fórmulas essenciais).
  • Todo número complexo z pode ser escrito em coordenadas cartesianas:
z = x + i y,
onde x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z).
  • Em coordenadas polares escreve-se:
z = r e^{i\theta},
onde:
  • r = |z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} é o módulo (distância do ponto à origem),
  • \theta = \arg(z) é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real), normalmente tomado em \theta\in(-\pi,\pi] ou [0,2\pi).
  • As relações entre as coordenadas são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • A conjugada em coordenadas polares é
\bar{z} = r e^{-i\theta}.
  • Observação útil: expressões como z+\bar{z} frequentemente simplificam em termos de r e \theta porque e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta.

Passo 4

Como extrair a parte real e imaginária em geral (relembrando técnica que vai ser usada no item (c)).
  • Se f(z) é dada por uma expressão algébrica em x e y, substitui-se z=x+iy e \bar{z}=x-iy e separa-se a expressão resultante em parte real (coeficiente sem i) e parte imaginária (coeficiente que multiplica i).
  • Alternativamente, usando coordenadas polares escreve-se f em termos de r e \theta e usa-se e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta para separar as partes real e imaginária.

Passo 5

Aplicando isso ao caso f(z)=\dfrac{z}{z+\bar{z}}: cálculo em coordenadas cartesianas ( x,y).
  • Escrevendo z e \bar{z} em termos de x e y:
z = x + i y,\qquad \bar{z}=x - i y.
  • Soma no denominador:
z+\bar{z} = (x+iy)+(x-iy)=2x.
Observação: 2x é um número real — isso simplifica muito a conta.
  • Portanto, sempre que 2x\neq 0 (ou seja, x\neq 0) podemos dividir:
f(z)=\dfrac{x+iy}{2x}=\dfrac{x}{2x}+i\,\dfrac{y}{2x}=\dfrac{1}{2}+i\,\dfrac{y}{2x}.
  • Assim, separando explicitamente:
    • Parte real:
    u(x,y)=\operatorname{Re}\big(f(z)\big)=\dfrac{1}{2}.
    • Parte imaginária:
    v(x,y)=\operatorname{Im}\big(f(z)\big)=\dfrac{y}{2x}.
  • Comentário pedagógico: repara que a parte real é constante igual a \tfrac{1}{2} para todos os pontos do domínio, enquanto a parte imaginária depende da razão y/x.

Passo 6

Mesma expressão, agora em coordenadas polares (para ver outra forma e entender singularidades).
  • Em coordenadas polares usamos z=r e^{i\theta} e \bar{z}=r e^{-i\theta}. Então
z+\bar{z}=r\big(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\big)=2r\cos\theta.
  • Se 2r\cos\theta\neq 0 (isto é, r\neq 0 e \cos\theta\neq 0), temos
f(z)=\dfrac{r e^{i\theta}}{2r\cos\theta}=\dfrac{e^{i\theta}}{2\cos\theta}.
  • Usando e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta obtemos
f(z)=\dfrac{\cos\theta}{2\cos\theta}+i\,\dfrac{\sin\theta}{2\cos\theta}=\dfrac{1}{2}+i\,\dfrac{\tan\theta}{2}.
  • Observação de consistência: como \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{y}{x}, a expressão polar coincide com a expressão cartesiana encontrada antes:
\operatorname{Im}(f)=\dfrac{\tan\theta}{2}=\dfrac{y}{2x}.
  • Importante: na forma polar o módulo r cancela — a função não depende de r (ou seja, varia com a direção \theta e não com a distância ao origem).

Passo 7

Análise do domínio (explicando onde a expressão faz sentido).
  • A única possível singularidade na fórmula original é onde o denominador se anula:
z+\bar{z}=0.
  • Escrevendo z=x+iy isso equivale a
2x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.
Isto é, ocorre divisão por zero para todos os pontos com \operatorname{Re}(z)=0, ou seja, para todos os z do eixo imaginário.
  • Em coordenadas polares a condição de denominador nulo é 2r\cos\theta=0, que acontece quando r=0 (origem) ou quando \cos\theta=0 (direções \theta=\tfrac{\pi}{2}+\pi k, ou seja, eixo imaginário). Ambos correspondem a \operatorname{Re}(z)=0.
  • Conclusão clara e prática:
\text{Domínio}(f)=\{\,z\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Re}(z)\neq 0\,\},í
ou, na linguagem cartesiana,
\{\,x+iy\in\mathbb{C}\mid x\neq 0\,\}.
Em polar:
\{\,r e^{i\theta}\mid r>0,\\ \cos\theta\neq 0\,\}.

Resposta

(a) Uma função de variável complexa é um mapeamento f:D\to\mathbb{C} que associa a cada z\in D\subseteq\mathbb{C} um complexo w=f(z), onde z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} e w=u(x,y)+i\,v(x,y).
(b) Em coordenadas polares z=r e^{i\theta} com r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e \theta=\arg(z). As relações são x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e \bar{z}=r e^{-i\theta}.
(c) Para f(z)=\dfrac{z}{z+\bar{z}} temos, sempre que x\neq 0,
\operatorname{Re}(f(z))=u(x,y)=\dfrac{1}{2},\qquad \operatorname{Im}(f(z))=v(x,y)=\dfrac{y}{2x}.
Em polar (quando definido) isso é
f(z)=\dfrac{1}{2}+i\,\dfrac{\tan\theta}{2}.
(d) \displaystyle \text{Domínio}(f)=\{z\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Re}(z)\neq 0\}=\{x+iy\mid x\neq 0\}í.

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