A função em análise é f(x)=\dfrac{x^{3}+1}{x^{2}-1}.
O ponto onde a variável se aproxima é x=-1.
A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite justificando os cálculos.
Passo 2
Primeiro tentamos a substituição direta para ver se a função é contínua em x=-1. Calculando numerador e denominador em x=-1:
x^{3}+1\big|_{x=-1}=(-1)^{3}+1=-1+1=0,
x^{2}-1\big|_{x=-1}=(-1)^{2}-1=1-1=0.
Como obtemos \dfrac{0}{0}, a forma é indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas pela substituição; é necessário manipular algebraicamente a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Escolhi manipulação algébrica (fatoração) porque é a técnica mais simples e elementar aqui: tanto o numerador quanto o denominador são expressões que possuem fatores em comum quando escritos de forma fatorada. Vou usar duas identidades algébricas fundamentais:
Soma de cubos:
a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}),
onde a e b são números ou expressões quaisquer.
Diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando-as com a=x e b=1:
Fatorando o numerador:
x^{3}+1 = x^{3}+1^{3} = (x+1)(x^{2}-x+1).
Fatorando o denominador:
x^{2}-1 = x^{2}-1^{2} = (x-1)(x+1).
Passo 4
Substituindo essas fatorações na expressão original:
Para x\neq -1 é seguro cancelar o fator comum (x+1), pois ele não é zero. O limite considera x aproximando-se de -1, não necessariamente igual a -1, então podemos simplificar a expressão para os pontos próximos a -1:
Agora a nova expressão não apresenta indeterminação ao substituir x=-1. Calculamos numerador e denominador separadamente:
Numerador:
x^{2}-x+1\big|_{x=-1}=(-1)^{2}-(-1)+1=1+1+1=3.
Denominador:
x-1\big|_{x=-1}=-1-1=-2.
Logo o valor do limite é
\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}.
Passo 6
Breve comentário didático extra (opcional para a prova): outra forma de chegar ao mesmo resultado seria usar a regra de L’Hôpital, já que tínhamos a forma \dfrac{0}{0}. Derivando numerador e denominador e avaliando em -1 também dá -\tfrac{3}{2}. Mas a fatoração é mais direta e sem necessidade de derivadas, por isso foi a escolhida.