\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x-2}{\sqrt{(2-x)^{2}}}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2}\left(\frac{x-2}{\sqrt{(2-x)^{2}}}\right).
Informações dadas:
  • A expressão a avaliar é \dfrac{x-2}{\sqrt{(2-x)^{2}}}.
  • O ponto de interesse é x=2.
    A tarefa é verificar se esse limite existe e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

Uma identidade importante que vamos usar é a relação entre raiz quadrada de um quadrado e valor absoluto:
\sqrt{a^{2}} = |a| \quad\text{para todo } a\in\mathbb{R}.
Aqui a\) representa uma expressão qualquer (não confundir com constantes). O valor absoluto \(|a|\) é definido por \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Aplicando essa identidade com (a=2-x] obtemos
\sqrt{(2-x)^{2}} = |2-x|.]

Passo 3

Substituindo na expressão do limite:
\frac{x-2}{\sqrt{(2-x)^{2}}} = \frac{x-2}{|2-x|}.
Observe que x-2 = -(2-x). Então podemos escrever também
\frac{x-2}{|2-x|} = -\,\frac{2-x}{|2-x|}.
A fração \dfrac{2-x}{|2-x|} mede apenas o sinal de 2-x: é 1 quando 2-x>0 e -1 quando 2-x<0. Por isso é conveniente calcular os limites laterais (à esquerda e à direita de 2).

Passo 4

Limite pela direita ( x\to 2^{+}): para x>2 temos 2-x<0, então
|2-x| = -(2-x) = x-2.
Assim, para x>2
\frac{x-2}{|2-x|} = \frac{x-2}{x-2} = 1.
Portanto
\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x-2}{\sqrt{(2-x)^{2}}} = 1.

Passo 5

Limite pela esquerda ( x\to 2^{-}): para x<2 temos 2-x>0, então
|2-x| = 2-x.
Assim, para x<2
\frac{x-2}{|2-x|} = \frac{x-2}{2-x} = -1.
Portanto
\lim_{x\to 2^{-}}\frac{x-2}{\sqrt{(2-x)^{2}}} = -1.

Passo 6

Para que o limite \lim_{x\to 2} exista, os limites laterais \lim_{x\to 2^{-}} e \lim_{x\to 2^{+}} devem ser iguais. Aqui obtivemos valores diferentes: limite pela esquerda igual a -1 e pela direita igual a 1. Logo o limite geral não existe.

Resposta

Não existe.

Exercícios relacionados