Mostre que a função u(x, y)=2 x-x^{3}+2 x y^{2} é harmônica e determine sua conjugada harmônica v .

Passo 1

O enunciado dá a função u(x,y)=2x-x^{3}+2xy^{2} e pede duas coisas:
  • mostrar que u é harmônica;
  • determinar uma conjugada harmônica v (ou seja, encontrar v tal que u+iv seja uma função holomorfa localmente).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de u. Não há domínio especificado, então entende-se o domínio natural \mathbb{R}^2 (ou algum subconjunto aberto dele).

Passo 2

O que significa “ser harmônica”?
  • Uma função real u(x,y) é chamada harmônica em um domínio aberto D\subset\mathbb{R}^2 se satisfaz a equação de Laplace:
u_{xx}+u_{yy}=0
aqui u_{xx} é a segunda derivada parcial de u em relação a x e u_{yy} é a segunda derivada parcial em relação a y.
Por que isso importa para existir uma conjugada harmônica v?
  • Se existe uma função v tal que f=u+iv é holomorfa (diferenciável complexamente) numa região aberta, então as equações de Cauchy–Riemann (CR) valem:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
  • Uma consequência das CR é que u (e v) são harmônicas: derivando e somando, obtém-se u_{xx}+u_{yy}=0. Logo, ser harmônica é uma condição necessária para que exista uma conjugada harmônica numa região aberta.
Portanto, primeiro vamos verificar se u satisfaz a equação de Laplace.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem de u.
Derivando em x:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x - x^{3} + 2x y^{2}\bigr).
Cada termo:
  • \frac{\partial}{\partial x}(2x)=2,
  • \frac{\partial}{\partial x}(-x^{3})=-3x^{2},
  • \frac{\partial}{\partial x}(2x y^{2})=2 y^{2} (tratando y como constante).
    Logo
u_x = 2 - 3x^{2} + 2y^{2}.
Derivando em y:
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x - x^{3} + 2x y^{2}\bigr).
Cada termo:
  • \frac{\partial}{\partial y}(2x)=0,
  • \frac{\partial}{\partial y}(-x^{3})=0,
  • \frac{\partial}{\partial y}(2x y^{2})=2x\cdot 2y=4xy.
    Logo
u_y = 4xy.

Passo 4

Calcular as segundas derivadas e a Laplaciana.
Derivando u_x em x:
u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2 - 3x^{2} + 2y^{2}\bigr) = -6x.
Derivando u_y em y:
u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4xy\bigr) = 4x.
Somando para obter a Laplaciana:
u_{xx}+u_{yy} = -6x + 4x = -2x.
Portanto a Laplaciana não é zero em geral; é -2x. Em particular, u_{xx}+u_{yy}\not\equiv 0 no plano (é zero só na reta x=0, que não é um domínio aberto).

Passo 5

Interpretação do resultado: u não é harmônica (em qualquer domínio aberto que contenha pontos com x\neq0). Como explicamos no Passo 2, a harmonicidade de u é condição necessária para a existência de uma conjugada harmônica v definida em um domínio aberto. Logo, não existe função v definida em um conjunto aberto contendo pontos com x\neq0 tal que u+iv seja holomorfa.
Podemos ver a inconsistência mais diretamente pelas equações de Cauchy–Riemann: suponha que exista v satisfazendo
v_y = u_x = 2 - 3x^{2} + 2y^{2}, \qquad v_x = -u_y = -4xy.
Então diferencie a primeira igualdade em x e a segunda em y e compare:
  • v_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}v_y = \frac{\partial}{\partial x}(2 - 3x^{2} + 2y^{2}) = -6x.
  • v_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}v_x = \frac{\partial}{\partial y}(-4xy) = -4x.
    Mas por teorema de Schwarz (derivadas mistas iguais para funções C^2) deve valer v_{xy}=v_{yx}. Aqui obtemos -6x=-4x, isto é -2x=0, só possível quando x=0. Portanto não há v com as propriedades desejadas em nenhum domínio aberto contendo pontos com x\neq0.

Passo 6

Comentário didático e exemplo de como seria quando a função é harmônica.
  • Regra prática: só funções harmônicas podem ser partes reais de funções holomorfas. A verificação é sempre calcular u_{xx}+u_{yy}.
  • Exemplo para treinar: se tivéssemos \tilde{u}(x,y)=2x-x^{3}+3xy^{2} (note o coeficiente 3 em vez de 2), então
\tilde{u}_{xx}+\tilde{u}_{yy} = (-6x)+(6x)=0,
logo \tilde{u} seria harmônica. Para encontrar a conjugada \tilde{v} resolveríamos as CR:
\tilde{v}_y=\tilde{u}_x=2-3x^{2}+3y^{2},
integrando em y e impondo compatibilidade obtém-se (até constante)
\tilde{v}(x,y)=(2-3x^{2})y+y^{3}+C.
Isso ilustra o procedimento quando u é realmente harmônica.

Resposta

A função u não é harmônica, pois \,u_{xx}+u_{yy}=-2x\not\equiv0. Logo não existe uma conjugada harmônica v definida em qualquer domínio aberto que contenha pontos com x\neq0.

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