Mostre que a função
é harmônica e determine sua conjugada harmônica v .
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- mostrar que
é harmônica; - determinar uma conjugada harmônica
(ou seja, encontrar tal que seja uma função holomorfa localmente).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
. Não há domínio especificado, então entende-se o domínio natural
(ou algum subconjunto aberto dele).
Passo 2
O que significa “ser harmônica”?
- Uma função real
é chamada harmônica em um domínio aberto se satisfaz a equação de Laplace:
aqui
é a segunda derivada parcial de
em relação a
e
é a segunda derivada parcial em relação a
.
Por que isso importa para existir uma conjugada harmônica
?
- Se existe uma função
tal que é holomorfa (diferenciável complexamente) numa região aberta, então as equações de Cauchy–Riemann (CR) valem:
- Uma consequência das CR é que
(e ) são harmônicas: derivando e somando, obtém-se . Logo, ser harmônica é uma condição necessária para que exista uma conjugada harmônica numa região aberta.
Portanto, primeiro vamos verificar se
satisfaz a equação de Laplace.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
.
Derivando em
:
Cada termo:
-
, -
, -
(tratando como constante).
Logo
Derivando em
:
Cada termo:
-
, -
, -
.
Logo
Passo 4
Calcular as segundas derivadas e a Laplaciana.
Derivando
em
:
Derivando
em
:
Somando para obter a Laplaciana:
Portanto a Laplaciana não é zero em geral; é
. Em particular,
no plano (é zero só na reta
, que não é um domínio aberto).
Passo 5
Interpretação do resultado:
não é harmônica (em qualquer domínio aberto que contenha pontos com
). Como explicamos no Passo 2, a harmonicidade de
é condição necessária para a existência de uma conjugada harmônica
definida em um domínio aberto. Logo, não existe função
definida em um conjunto aberto contendo pontos com
tal que
seja holomorfa.
Podemos ver a inconsistência mais diretamente pelas equações de Cauchy–Riemann: suponha que exista
satisfazendo
Então diferencie a primeira igualdade em
e a segunda em
e compare:
-
-
Mas por teorema de Schwarz (derivadas mistas iguais para funções) deve valer . Aqui obtemos , isto é , só possível quando . Portanto não há com as propriedades desejadas em nenhum domínio aberto contendo pontos com .
Passo 6
Comentário didático e exemplo de como seria quando a função é harmônica.
-
Regra prática: só funções harmônicas podem ser partes reais de funções holomorfas. A verificação é sempre calcular
. -
Exemplo para treinar: se tivéssemos
(note o coeficiente em vez de ), então
logo
seria harmônica. Para encontrar a conjugada
resolveríamos as CR:
integrando em
e impondo compatibilidade obtém-se (até constante)
Isso ilustra o procedimento quando
é realmente harmônica.
Resposta
A função
não é harmônica, pois
. Logo não existe uma conjugada harmônica
definida em qualquer domínio aberto que contenha pontos com
.