Considere a função conjunta para V.A. X sendo número de vigas feitas no período da manhã e Y número de vigas feitas o período da tarde. A tabela a seguir fornece as probabilidades conjuntas , conforme abaixo: representa que não trabalharam nesse dia; responda as questões 03 e 04
0 1 2
0
1
2
(03) Seja o número total de vigas produzidas pelos dois turnos de trabalho, em um dia normal. Determine o Espaço Amostral e as respectivas probabilidades.

Passo 1

O enunciado fornece a função de probabilidade conjunta de duas v.a. X e Y, cada uma tomando valores em 0,1,2. Define-se a nova v.a. V = X + Y e pede-se o espaço amostral de V e suas probabilidades. Para resolver, vamos aplicar a definição de distribuição da soma de variáveis aleatórias discretas, somando as probabilidades conjuntas apropriadas.

Passo 2

Como Xin0,1,2 e Yin0,1,2, a soma V=X+Y só pode assumir valores inteiros de 0 até 4. Logo,
Omega = 0,1,2,3,4

Passo 3

Pela regra da soma, para cada vinOmega vale
P(V=v) ;=;sumx+y=vP(X=x,;Y=y)

Passo 4

Calculemos P(V=0) e P(V=1):
P(V=0) = P(X=0,Y=0) = tfrac120,
P(V=1) = P(X=0,Y=1) + P(X=1,Y=0) = tfrac420 + tfrac320 = tfrac720

Passo 5

Agora P(V=2) e P(V=3):
P(V=2) = P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) + P(X=2,Y=0) = tfrac520 + tfrac320 + tfrac120 = tfrac920,
P(V=3) = P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = tfrac120 + tfrac120 = tfrac220 = tfrac110

Passo 6

Finalmente, P(V=4):
P(V=4) = P(X=2,Y=2) = tfrac120
Confirma-se que
tfrac120+tfrac720+tfrac920+tfrac220+tfrac120=1,
mostrando que é uma distribuição válida.

Resposta

Omega = 0,1,2,3,4 com
P(V=0)=tfrac120, P(V=1)=tfrac720, P(V=2)=tfrac920, P(V=3)=tfrac110, P(V=4)=tfrac120

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