Considere a função
f(x)=x-4x^2-x+4
Considere a função f restringida ao intervalo [-1,9] e determine os máximos e mínimos globais de f.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos globais de
f(x)=x-4x^2-x+4
no intervalo fechado [-1,9].
O conteúdo principal é otimização de funções em intervalo fechado, que exige ( 1) cálculo de pontos críticos via derivada e ( 2) comparação dos valores de f nesses pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f usando a regra do quociente. Chamando
u(x)=x-4, v(x)=x^2 - x + 4,
temos
u'(x)=1, v'(x)=2x-1
Pela regra do quociente,
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =(x^2 - x + 4)- (x-4)(2x-1)(x^2 - x + 4)^2

Passo 3

Simplificando o numerador:
(x^2 - x + 4)- (x-4)(2x-1) =x^2 - x + 4 - (2x^2 -9x +4) =-x^2 +8x =x(8-x)
Logo
f'(x)=x(8-x)(x^2 - x + 4)^2
Como x^2 - x +4>0 para todo xinR, os pontos em que f'(x)=0 são
x=0 e x=8,
ambos dentro de [-1,9]. A positividade do denominador implica que o sinal de f' é dado por x(8-x): negativo em (-infty,0)cup(8,infty) e positivo em (0,8). Assim,
  • f decresce em [-1,0],
  • cresce em [0,8],
  • decresce em [8,9].

Passo 4

Os candidatos a extremos são x=-1, x=0, x=8 e x=9. Vamos avaliar:
f(-1)=-1-4(-1)^2-(-1)+4=-56approx -0,8333,
f(0)=-40-0+4=-1,
f(8)=8-464-8+4=460=115approx 0,0667,
f(9)=9-481-9+4=576approx 0,0658

Passo 5

Comparando os valores:
f(0)=-1 < f(-1)approx -0,8333 < f(9)approx0,0658 < f(8)approx0,0667
Logo o mínimo global ocorre em x=0 e vale -1, e o máximo global ocorre em x=8 e vale tfrac115.

Resposta

O mínimo global de f em [-1,9] é
f(0)=-1,
e o máximo global é
f(8)=115

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