Para a função
f(x)=cos (pi x)+4(e^x^3+x^2)^5
Calcule f^prime.
f^prime(x)=

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função:
f(x) = cos (pi x) + 4(e^x^3 + x^2)^5
Neste exercício, vamos trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente aplicando a Regra do Quociente para encontrar a derivada f'(x). Para isso, precisaremos conhecer como derivar funções compostas e aplicar a regra adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam o quociente. A função f(x) pode ser vista como uma divisão entre duas funções:
  • Numerador: u(x) = cos(pi x) + 4
  • Denominador: v(x) = (e^x^3 + x^2)^5
Para aplicar a Regra do Quociente, precisamos encontrar as derivadas dessas duas funções, ou seja, u'(x) e v'(x).

Passo 3

Vamos calcular a derivada do numerador u(x):
u(x) = cos(pi x) + 4
A derivada de cos(pi x) em relação a x é:
u'(x) = -pi sin(pi x)
A derivada de uma constante, como 4, é zero. Portanto:
u'(x) = -pi sin(pi x)

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada do denominador v(x):
v(x) = (e^x^3 + x^2)^5
Para derivar essa função, usaremos a Regra da Cadeia. Primeiro, identificamos a função externa e a interna:
  • Função externa: w(z) = z^5, onde z = e^x^3 + x^2
  • Função interna: z(x) = e^x^3 + x^2
A derivada de w(z) em relação a z é:
w'(z) = 5z^4
Agora, derivamos z(x) em relação a x:
z(x) = e^x^3 + x^2
A derivada de e^x^3 em relação a x é 3x^2e^x^3 (usando a Regra da Cadeia) e a derivada de x^2 é 2x. Portanto:
z'(x) = 3x^2e^x^3 + 2x
Aplicando a Regra da Cadeia para v(x):
v'(x) = w'(z) cdot z'(x) = 5(e^x^3 + x^2)^4 cdot (3x^2e^x^3 + 2x)

Passo 5

Agora que temos u'(x) e v'(x), podemos aplicar a Regra do Quociente para encontrar f'(x):
f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2
Substituindo os valores encontrados:
f'(x) = (-pi sin(pi x)) cdot (e^x^3 + x^2)^5 - (cos(pi x) + 4) cdot 5(e^x^3 + x^2)^4 cdot (3x^2e^x^3 + 2x) (e^x^3 + x^2)^10
Podemos simplificar o denominador:
(e^x^3 + x^2)^10 = [(e^x^3 + x^2)^5]^2

Resposta

A derivada de f(x) é:
f'(x) = -pi sin(pi x) cdot (e^x^3 + x^2)^5 - 5(cos(pi x) + 4)(e^x^3 + x^2)^4 (3x^2e^x^3 + 2x) (e^x^3 + x^2)^10

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