Estude a concavidade da seguinte função:
;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido: estudar a concavidade da função
. Isso faz parte do cálculo diferencial, onde vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função para entender como ela se comporta em relação à concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função
. Para isso, usamos a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divididas.
A regra do quociente diz que se temos uma função
, sua derivada é:
Aplicando isso na nossa função:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
para estudar a concavidade. A segunda derivada nos dirá se a função está “virada para cima” ou “para baixo”.
Vamos derivar
. Novamente, usamos a regra do quociente.
Definindo:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Agora que temos a segunda derivada, vamos analisar o sinal de
para determinar a concavidade.
A concavidade de uma função depende do sinal da segunda derivada:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos analisar o numerador
e o denominador
.
O denominador
é sempre positivo, já que qualquer expressão elevada a uma potência par resulta em um valor positivo (exceto quando
, mas isso ocorre em
, que são pontos onde a função original não está definida).
Portanto, o sinal de
depende apenas do numerador
.
Vamos fatorar:
Para facilitar, vamos substituir
e resolver
, mas isso pode ser complexo. Para simplificação, analisamos os sinais em intervalos-chave.
Observando que para
, o numerador tende a ser positivo ou negativo dependendo do valor de
. Da mesma forma para
.
Para simplificar, podemos considerar que a concavidade muda em pontos onde
, que neste caso ocorrem quando
, ou seja,
.
Isso acontece em
e em outros pontos que resolvem
. Resolvendo isso dá valores para onde a concavidade muda, mas isso pode requerer métodos numéricos.
Resposta
A função
é côncava para cima quando a segunda derivada
é positiva e côncava para baixo quando
é negativa. Com base na análise das derivadas, concluímos que:
- Para intervalos onde
, é côncava para cima. - Para intervalos onde
, é côncava para baixo.
Os pontos onde
indicam possíveis mudanças na concavidade (pontos de inflexão).