Estude a concavidade da seguinte função:
g(t)=e^t^2;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa estudar a concavidade da função g(t) = e^t^2 . Isso quer dizer que vamos descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para fazer isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e analisar o sinal dela.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de g(t) . A derivada de e^u em relação a t é e^u vezes a derivada de u . Aqui, u = t^2 , então:
g'(t) = ddt ( e^t^2 ) = e^t^2 cdot ddt ( t^2 ) = e^t^2 cdot 2t = 2t e^t^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada g''(t) . Precisamos derivar g'(t) = 2t e^t^2 . Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u'v + uv' . Aqui, u = 2t e v = e^t^2 :
g''(t) = ddt ( 2t cdot e^t^2 ) = 2 cdot e^t^2 + 2t cdot ddt ( e^t^2 ) = 2 e^t^2 + 2t cdot 2t e^t^2 = 2 e^t^2 + 4t^2 e^t^2 = e^t^2 (2 + 4t^2)

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada g''(t) = e^t^2 (2 + 4t^2) , vamos analisar o sinal dela para determinar a concavidade. Sabemos que e^t^2 é sempre positivo, independentemente do valor de t . Portanto, o sinal de g''(t) depende apenas de 2 + 4t^2 .
2 + 4t^2 > 0 para todo t in R
Como 4t^2 é sempre não negativo e estamos adicionando 2, o resultado será sempre positivo.

Passo 5

Como a segunda derivada g''(t) é sempre positiva, isso significa que a função g(t) = e^t^2 é côncava para cima em todo o seu domínio.

Resposta

A função g(t) = e^t^2 é côncava para cima em todo o seu domínio.

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