Estude a concavidade da seguinte função:
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa estudar a concavidade da função
. Isso quer dizer que vamos descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para fazer isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e analisar o sinal dela.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
. Aqui,
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Precisamos derivar
. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
:
Passo 4
Agora que temos a segunda derivada
, vamos analisar o sinal dela para determinar a concavidade. Sabemos que
é sempre positivo, independentemente do valor de
. Portanto, o sinal de
depende apenas de
.
Como
é sempre não negativo e estamos adicionando 2, o resultado será sempre positivo.
Passo 5
Como a segunda derivada
é sempre positiva, isso significa que a função
é côncava para cima em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é côncava para cima em todo o seu domínio.