Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
f(x, y)=2 x^2 y em(2,1, f(2,1)).

Passo 1

O enunciado pede as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f(x,y)=2x^2y no ponto (2,1,f(2,1)). Vamos usar derivadas parciais para encontrar os coeficientes do plano tangente e o vetor normal para a reta normal.

Passo 2

Primeiro calculamos o valor de f no ponto:
f(2,1) = 2 cdot 2^2 cdot 1 = 8
Logo o ponto no gráfico é (2,1,8).

Passo 3

Agora determinamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = 4xy,
partial fpartial y = 2x^2

Passo 4

Avaliando em (2,1), temos
partial fpartial x(2,1) = 4 cdot 2 cdot 1 = 8,
partial fpartial y(2,1) = 2 cdot 2^2 = 8

Passo 5

A equação do plano tangente a um gráfico z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)
Substituindo x0=2, y0=1, z0=8 e os valores de fx e fy,
z - 8 = 8(x - 2) + 8(y - 1)
Podemos simplificar:
z = 8x + 8y - 16

Passo 6

Para a reta normal, usamos o vetor normal ao gráfico, que é dado por
l(fx(x0,y0),,fy(x0,y0),,-1r) = (8,8,-1)
As equações paramétricas da reta com parâmetro t passando por (2,1,8) são
x = 2 + 8t, y = 1 + 8t, z = 8 - t

Resposta

Plano tangente:
z - 8 = 8(x - 2) + 8(y - 1)
ou equivalentemente
z = 8x + 8y - 16
Reta normal:
x = 2 + 8t, y = 1 + 8t, z = 8 - t

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