Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
.
Passo 1
O enunciado pede as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de
no ponto
. Vamos usar derivadas parciais para encontrar os coeficientes do plano tangente e o vetor normal para a reta normal.
Passo 2
Primeiro calculamos o valor de
no ponto:
Logo o ponto no gráfico é
.
Passo 3
Agora determinamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Avaliando em
, temos
Passo 5
A equação do plano tangente a um gráfico
em
é
Substituindo
,
,
e os valores de
e
,
Podemos simplificar:
Passo 6
Para a reta normal, usamos o vetor normal ao gráfico, que é dado por
As equações paramétricas da reta com parâmetro
passando por
são
Resposta
Plano tangente:
ou equivalentemente
Reta normal: