Determine o domínio da função
f(x, y)=\ln (x-y)

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=\ln(x-y)\, e pede: determinar o domínio de f.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão dentro do logaritmo é \,x-y\,.
  • A função é o logaritmo natural \ln(\cdot).

Passo 2

Entender quando o logaritmo natural está definido.
A função \ln(t) está definida como número real somente para argumentos t estritamente positivos, isto é,
t>0.
Explicação curta e intuitiva: \ln(t) é o número s tal que e^{s}=t. Como e^{s}>0 para todo s\in\mathbb{R}, não existe s com e^{s}\le 0; por isso só faz sentido pedir \ln(t) quando t>0.

Passo 3

Aplicar essa condição ao nosso caso. Aqui o argumento do logaritmo é x-y. Logo devemos exigir
x-y>0.
Isto é a condição necessária e suficiente para que \ln(x-y) seja um número real.

Passo 4

Resolver a desigualdade x-y>0. Somando y em ambos os lados obtemos
x>y.
Não houve perda de informação nem necessidade de dividir por algo; a transformação é direta e válida para quaisquer x,y\in\mathbb{R}.

Passo 5

Expressar o domínio em notação de conjuntos e explicar em palavras. Assim, o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>y\}.
Em palavras: todos os pares ordenados (x,y) de números reais tal que x seja maior do que y. A reta \,x=y\, (onde x-y=0) é excluída, e também são excluídos os pontos em que x<y (onde x-y<0, argumento negativo).

Passo 6

Exemplos e observações práticas para a prova:
  • Exemplo válido: (x,y)=(2,1) porque 2-1=1>0 e \ln(1)=0.
  • Exemplo inválido: (x,y)=(0,1) porque 0-1=-1<0 e \ln(-1) não é definido nos reais.
  • Exemplo na fronteira (inválido): (x,y)=(1,1) porque 1-1=0 e \ln(0) é indefinido.
    Dica rápida para a prova: sempre isolar a expressão dentro de \ln(\cdot) e impor que seja >0; depois resolva a desigualdade no conjunto dos reais.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>y\}

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