Considere a função
f(x, y)=cc y^2-x^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 2, & se (x, y)=(0,0)
f é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade de funções de duas variáveis. A questão nos apresenta uma função f(x, y) definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos (x, y) que não são (0,0) e outra especificamente para o ponto (0,0). O objetivo é verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade em pontos de funções de duas variáveis e como calcular os limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função f(x, y) é contínua em um ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b)
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em (0,0), então precisamos calcular:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y)
e ver se esse limite é igual a f(0, 0) , que é 2.

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0). A função para (x, y) neq (0,0) é:
f(x, y) = y^2 - x^2x^2 + y^2
Para calcular esse limite, uma estratégia útil é mudar para coordenadas polares, onde x = r cos(theta) e y = r sin(theta) , com r sendo a distância até a origem e theta o ângulo.

Passo 4

Substituindo x e y por suas expressões em coordenadas polares:
f(r, theta) = (r sin theta)^2 - (r cos theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 sin^2 theta - r^2 cos^2 thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)
Simplificando:
f(r, theta) = r^2 (sin^2 theta - cos^2 theta)r^2 (1) = sin^2 theta - cos^2 theta

Passo 5

Agora, observamos que f(r, theta) = sin^2 theta - cos^2 theta não depende de r . Isso significa que o limite depende apenas do ângulo theta de aproximação ao ponto (0,0). Por exemplo:
  • Se theta = 0, então f = 0 - 1 = -1
  • Se theta = pi2, então f = 1 - 0 = 1
Como o valor do limite muda dependendo da direção de aproximação, o limite geral não existe.

Passo 6

Já que o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) não existe (pois depende da direção), ele não pode ser igual a f(0,0) = 2 . Portanto, a função não é contínua no ponto (0,0).

Resposta

Não, f não é contínua em (0,0) porque o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) não existe.

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