Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
a=j+7 k, b=2 i-j+4 k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial de a=j+7k e b=2i-j+4k e depois mostrar que esse vetor resultante é ortogonal a a e a b. Para isso, usaremos a definição de produto vetorial por determinante e a verificação de ortogonalidade via produto escalar.

Passo 2

Vamos primeiro escrever as componentes de cada vetor no formato (x,y,z):
a = (0,,1,,7), b = (2,,-1,,4)

Passo 3

Aplicamos a regra do determinante para o produto vetorial:
atimes b = i & j & k 0 & 1 & 7 2 & -1 & 4 = i,(1cdot4 - 7cdot(-1)) - j,(0cdot4 - 7cdot2) + k,(0cdot(-1) - 1cdot2)

Passo 4

Agora simplificamos cada componente:
atimes b = i(4 + 7) - j(0 - 14) + k(0 - 2) = 11,i + 14,j - 2,k

Passo 5

Para verificar que atimesb é ortogonal a a e a b, calculamos os produtos escalares:
acdot(atimesb) = (0,1,7)cdot(11,14,-2) = 0cdot11 + 1cdot14 + 7cdot(-2) = 14 - 14 = 0,
bcdot(atimesb) = (2,-1,4)cdot(11,14,-2) = 2cdot11 + (-1)cdot14 + 4cdot(-2) = 22 - 14 - 8 = 0
Como ambos os produtos são zero, concluímos que atimesb é ortogonal a a e a b.

Resposta

atimes b = 11,i + 14,j - 2,k, que de fato é ortogonal a a e a b.

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