Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral a^x dx1+a^2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
integral a^x,dx1 + a^2x,
onde usamos integração por substituição e o fato de que
integral du1+u^2 = arctan(u) + C

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = a^x
Então
dt = a^x ln(a),dx Longrightarrow a^x,dx = dtln(a)

Passo 3

Substituindo em integral a^x,dx1 + a^2x obtemos
integral a^x,dx1 + (a^x)^2 = integral dtln(a)1 + t^2 = 1ln(a) integral dt1 + t^2

Passo 4

Usando a fórmula padrão
integral dt1 + t^2 = arctan(t) + C,
temos
1ln(a) arctan(t) + C = 1ln(a) arctanl(a^xr) + C

Resposta

boxed integral a^x,dx1 + a^2x = 1ln(a) ,arctanl(a^xr) + C

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