Considere a função
f(x, y)=cc y^2-x^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 2, & se (x, y)=(0,0)
f é contínua em (-1,-1) ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função f(x, y) definida de duas formas diferentes: uma para todos os pontos (x, y) que não são (0,0) e outra específica para o ponto (0,0). A pergunta é: essa função é contínua no ponto (-1, -1)? Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e verificar se o limite da função quando (x, y) se aproxima de (-1, -1) é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando nos aproximamos desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Então, precisamos verificar:
lim(x, y) to (-1, -1) f(x, y) = f(-1, -1)

Passo 3

Vamos calcular f(-1, -1). Como (-1, -1) neq (0,0), usamos a primeira parte da definição da função:
f(-1, -1) = (-1)^2 - (-1)^2(-1)^2 + (-1)^2 = 1 - 11 + 1 = 02 = 0
Então, f(-1, -1) = 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando (x, y) se aproxima de (-1, -1). A função para pontos diferentes de (0,0) é:
f(x, y) = y^2 - x^2x^2 + y^2
Quando (x, y) to (-1, -1), substituímos x = -1 + h e y = -1 + k, onde h e k são pequenos.

Passo 5

Substituindo na função:
lim(h, k) to (0, 0) (-1 + k)^2 - (-1 + h)^2(-1 + h)^2 + (-1 + k)^2
Vamos expandir os quadrados:
= lim(h, k) to (0, 0) (1 - 2k + k^2) - (1 - 2h + h^2)(1 - 2h + h^2) + (1 - 2k + k^2)
Simplificando:
= lim(h, k) to (0, 0) -2k + k^2 + 2h - h^22 - 2h - 2k + h^2 + k^2

Passo 6

Quando h e k tendem a 0, os termos k^2, h^2, h k e similares tornam-se muito pequenos e podem ser ignorados:
approx -2k + 2h2 - 2h - 2k
Simplificando mais:
= 2(h - k)2(1 - h - k) = h - k1 - h - k

Passo 7

Agora, observamos que quando h e k tendem a 0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0 e 1, respectivamente. Portanto:
lim(h, k) to (0, 0) h - k1 - h - k = 0 - 01 - 0 - 0 = 01 = 0

Resposta

Sim, a função f é contínua em (-1, -1) porque o limite quando (x, y) se aproxima de (-1, -1) é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

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