Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral e^-b x1-e^-2 b x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral e^-b x1 - e^-2 b x , dx
O conteúdo envolve aplicar a substituição apropriada e usar a fórmula da integral de 1/(1 - t^2).

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^-b x
Então
d td x = -b,e^-b x Longrightarrow e^-b x,dx = -1b,dt

Passo 3

Note que
1 - e^-2 b x = 1 - t^2
Substituindo na integral original, temos
integral e^-b x1 - e^-2 b x,dx = integral -tfrac1b,dt1 - t^2 = -1bintegral dt1 - t^2

Passo 4

Usamos a fórmula
integral dt1 - t^2 = arctanh(t) + C l(ou tfrac12ln1+t1-tr)
Logo
-1bintegral dt1 - t^2 = -1b,arctanh(t) + C

Passo 5

Voltando a x, com t=e^-b x, obtemos
-1b,arctanh(e^-b x) + C
Usando a expressão em logaritmos, fica também
-1b,arctanh(e^-b x) = -12bln!1 + e^-b x1 - e^-b x + C = 12bln!1 - e^-b x1 + e^-b x + C

Resposta

integral e^-b x1 - e^-2 b x , dx = -1b,arctanh(e^-b x) + C = 12bln!1 - e^-b x1 + e^-b x + C

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