Considere a função f(x)=ln 2(-x^2+4)+e^x.
f é uma função contínua? justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a função f(x) = ln2(-x^2 + 4) + e^x é contínua. Para isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, domínios de definição e como funções logarítmicas e exponenciais se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função está definida, ou seja, quais valores de x tornam a função válida. A função ln2(y) está definida apenas quando y > 0 , então precisamos garantir que o argumento dentro do logaritmo seja positivo:
- x^2 + 4 > 0
Resolvendo essa desigualdade, a gente descobre para quais valores de x a função existe.

Passo 3

Resolvendo a desigualdade:
- x^2 + 4 > 0 Rightarrow x^2 < 4 Rightarrow -2 < x < 2
Então, o domínio de definição da função f(x) é o intervalo (-2, 2) . Fora desse intervalo, a função não está definida porque o logaritmo não aceitaria números negativos ou zero.

Passo 4

Agora, vamos analisar a continuidade da função dentro desse domínio. Sabemos que a soma de duas funções contínuas também é contínua. Então, se ln2(-x^2 + 4) e e^x são contínuas em (-2, 2) , a função f(x) também será contínua nesse intervalo.

Passo 5

A função logarítmica ln2(y) é contínua para y > 0 e a função exponencial e^x é contínua em todo o seu domínio, que é todos os números reais. Como já estabelecemos que -x^2 + 4 > 0 para x em (-2, 2) , ambas as partes da função f(x) são contínuas nesse intervalo.

Resposta

Sim, a função f(x) = ln2(-x^2 + 4) + e^x é contínua no seu domínio de definição, que é o intervalo (-2, 2) .

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