Considere a função
.
é uma função contínua? justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a função
é contínua. Para isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, domínios de definição e como funções logarítmicas e exponenciais se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função está definida, ou seja, quais valores de
tornam a função válida. A função
está definida apenas quando
, então precisamos garantir que o argumento dentro do logaritmo seja positivo:
Resolvendo essa desigualdade, a gente descobre para quais valores de
a função existe.
Passo 3
Resolvendo a desigualdade:
Então, o domínio de definição da função
é o intervalo
. Fora desse intervalo, a função não está definida porque o logaritmo não aceitaria números negativos ou zero.
Passo 4
Agora, vamos analisar a continuidade da função dentro desse domínio. Sabemos que a soma de duas funções contínuas também é contínua. Então, se
e
são contínuas em
, a função
também será contínua nesse intervalo.
Passo 5
A função logarítmica
é contínua para
e a função exponencial
é contínua em todo o seu domínio, que é todos os números reais. Como já estabelecemos que
para
em
, ambas as partes da função
são contínuas nesse intervalo.
Resposta
Sim, a função
é contínua no seu domínio de definição, que é o intervalo
.