Resolva o limite:
lim x 0 a^x-1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 a^x-1x
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções exponenciais e como elas se comportam quando x se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a^x . Uma função exponencial como a^x cresce ou decresce dependendo do valor de a . Quando x se aproxima de zero, a^x se aproxima de 1, porque qualquer número elevado a zero é 1.
Então, quando olhamos para a^x - 1 , estamos basicamente vendo o quanto a^x desvia de 1 quando x está perto de zero.

Passo 3

Agora, vamos dividir isso por x :
a^x-1x
À primeira vista, parece que tanto o numerador quanto o denominador vão para zero quando x se aproxima de zero, o que dá uma forma indeterminada 00 . Para resolver isso, precisamos de uma técnica mais avançada.

Passo 4

Uma das maneiras de resolver esse tipo de limite é usando o desenvolvimento em série de Taylor para a função a^x em torno de x = 0 . A série de Taylor para a^x é:
a^x = 1 + x ln a + (x ln a)^22! + (x ln a)^33! + dots
Aqui, ln a é o logaritmo natural de a , que nos ajuda a relacionar a função exponencial com os limites.

Passo 5

Vamos substituir essa série na expressão original:
a^x-1x = 1 + x ln a + (x ln a)^22! + dots - 1x
Simplificando, os termos 1 se cancelam:
= x ln a + (x ln a)^22! + dotsx

Passo 6

Agora, podemos dividir cada termo no numerador por x :
= ln a + (x ln a)^22! cdot x + dots
Note que, conforme x se aproxima de zero, os termos que contêm x vão para zero.

Passo 7

Portanto, o limite fica:
lim x 0 a^x-1x = ln a

Resposta

O limite é igual a ln a .

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