Resolva o limite:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções exponenciais e como elas se comportam quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Uma função exponencial como cresce ou decresce dependendo do valor de . Quando se aproxima de zero, se aproxima de 1, porque qualquer número elevado a zero é 1.
Então, quando olhamos para , estamos basicamente vendo o quanto desvia de 1 quando está perto de zero.

Passo 3

Agora, vamos dividir isso por :
À primeira vista, parece que tanto o numerador quanto o denominador vão para zero quando se aproxima de zero, o que dá uma forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos de uma técnica mais avançada.

Passo 4

Uma das maneiras de resolver esse tipo de limite é usando o desenvolvimento em série de Taylor para a função em torno de . A série de Taylor para é:
Aqui, é o logaritmo natural de , que nos ajuda a relacionar a função exponencial com os limites.

Passo 5

Vamos substituir essa série na expressão original:
Simplificando, os termos 1 se cancelam:

Passo 6

Agora, podemos dividir cada termo no numerador por :
Note que, conforme se aproxima de zero, os termos que contêm vão para zero.

Passo 7

Portanto, o limite fica:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados