Resolva o limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções exponenciais e como elas se comportam quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Uma função exponencial como
cresce ou decresce dependendo do valor de
. Quando
se aproxima de zero,
se aproxima de 1, porque qualquer número elevado a zero é 1.
Então, quando olhamos para
, estamos basicamente vendo o quanto
desvia de 1 quando
está perto de zero.
Passo 3
Agora, vamos dividir isso por
:
À primeira vista, parece que tanto o numerador quanto o denominador vão para zero quando
se aproxima de zero, o que dá uma forma indeterminada
. Para resolver isso, precisamos de uma técnica mais avançada.
Passo 4
Uma das maneiras de resolver esse tipo de limite é usando o desenvolvimento em série de Taylor para a função
em torno de
. A série de Taylor para
é:
Aqui,
é o logaritmo natural de
, que nos ajuda a relacionar a função exponencial com os limites.
Passo 5
Vamos substituir essa série na expressão original:
Simplificando, os termos 1 se cancelam:
Passo 6
Agora, podemos dividir cada termo no numerador por
:
Note que, conforme
se aproxima de zero, os termos que contêm
vão para zero.
Passo 7
Portanto, o limite fica:
Resposta
O limite é igual a
.