(2,0) Determine cada limite, se existir.
lim x 0 e^x+e^-xx^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite limx 0 e^x + e^-xx^2. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre limites e séries de Taylor, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, é útil lembrar que quando x está próximo de 0, podemos aproximar as funções exponenciais usando a série de Taylor. A série de Taylor para e^x em torno de 0 é:
e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + dots
E para e^-x:
e^-x = 1 - x + x^22 - x^36 + dots

Passo 3

Agora, vamos somar e^x e e^-x:
e^x + e^-x = (1 + x + x^22 + x^36 + dots) + (1 - x + x^22 - x^36 + dots)
Observando os termos, vemos que os termos lineares ( x) e cúbicos ( x^3) se cancelam:
e^x + e^-x = 2 + x^2 + dots

Passo 4

Agora, substituímos essa soma na expressão original do limite:
limx 0 e^x + e^-xx^2 = limx 0 2 + x^2 + dotsx^2
Podemos dividir cada termo do numerador por x^2:
limx 0 ( 2x^2 + 1 + dots )

Passo 5

Observando a expressão acima, quando x se aproxima de 0, o termo 2x^2 cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito. Os outros termos permanecem finitos ou também tendem ao infinito, mas o principal aqui é que o limite geral será infinito.

Resposta

O limite tende a +infty.

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