Determine cada limite, se existir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite
. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre limites e séries de Taylor, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, é útil lembrar que quando
está próximo de 0, podemos aproximar as funções exponenciais usando a série de Taylor. A série de Taylor para
em torno de 0 é:
E para
:
Passo 3
Agora, vamos somar
e
:
Observando os termos, vemos que os termos lineares (
) e cúbicos (
) se cancelam:
Passo 4
Agora, substituímos essa soma na expressão original do limite:
Podemos dividir cada termo do numerador por
:
Passo 5
Observando a expressão acima, quando
se aproxima de 0, o termo
cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito. Os outros termos permanecem finitos ou também tendem ao infinito, mas o principal aqui é que o limite geral será infinito.
Resposta
O limite tende a
.