Seja
, pede-se:
a) Domínio de
,
b) Intervalo de continuidade,
c) Interceptos,
d) Números críticos,
e) Extremos locais,
f) Intervalos de crescimento e decrescimento,
g) Análise da concavidade,
h) Ponto de inflexão (se não existir, justifique),
i) Assíntotas (se não existir, justifique),
j) Esboço do gráfico.
a) Domínio de
b) Intervalo de continuidade,
c) Interceptos,
d) Números críticos,
e) Extremos locais,
f) Intervalos de crescimento e decrescimento,
g) Análise da concavidade,
h) Ponto de inflexão (se não existir, justifique),
i) Assíntotas (se não existir, justifique),
j) Esboço do gráfico.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve a função
. O objetivo é analisar diferentes características dessa função, como domínio, continuidade, interceptos, números críticos, extremos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar de conceitos de álgebra, cálculo diferencial e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio consiste em todos os valores de
para os quais a função está definida. Como
é uma razão, precisamos garantir que o denominador não seja zero.
A função é definida se
.
Resposta da parte a): O domínio de
é todos os números reais exceto
e
, ou seja,
.
Passo 3
A continuidade de uma função em um intervalo significa que não há interrupções ou saltos na função dentro desse intervalo. Como
é uma função racional, ela é contínua em todo o seu domínio.
Resposta da parte b): O intervalo de continuidade de
é
.
Passo 4
Vamos encontrar os interceptos com os eixos
e
.
Intercepto com o eixo
:
Substituímos na função:
Substituímos
Portanto, o intercepto com o eixo
é
.
Interceptos com o eixo
:
Para encontrar os interceptos com o eixo , resolvemos
:
Para encontrar os interceptos com o eixo
Não há soluções reais para
, pois
é sempre não negativo e nunca pode somar 9 para resultar em zero.
Resposta da parte c):
- Intercepto com o eixo
: - Não há interceptos com o eixo
.
Passo 5
Números críticos são valores de
onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a derivada de
.
Primeiro, encontramos
usando a regra do quociente:
Agora, igualamos
:
Resposta da parte d): O único número crítico é
.
Passo 6
Para determinar se o número crítico
é um máximo ou mínimo, analisamos o sinal da derivada antes e depois de
.
Escolhemos valores de teste:
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
Como a derivada muda de positiva para negativa em
, temos um máximo local.
Calculamos
, então o ponto é
.
Resposta da parte e): A função possui um máximo local em
com valor
.
Passo 7
Analisamos o sinal da derivada
:
- Quando
: Crescimento - Quando
: Decrescimento
Considerando
para
:
- Para
: => Crescimento - Para
: => Decrescimento
Resposta da parte f):
- Crescente em
e - Decrescente em
e
Passo 8
Para analisar a concavidade, precisamos da segunda derivada
.
Primeiro, derivamos
:
Simplificando:
Analisamos o sinal de
:
Portanto,
, indicando concavidade para cima.
Resposta da parte g): A função é concava para cima em todo o seu domínio.
Passo 9
Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou não existe. Analisando
:
Como não há mudança na concavidade, não existem pontos de inflexão.
Resposta da parte h): Não existem pontos de inflexão na função
.
Passo 10
Vamos identificar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
Assíntotas Verticais:
Ocorrrem onde o denominador é zero e o numerador é diferente de zero.
Ocorrrem onde o denominador é zero e o numerador é diferente de zero.
Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Assíntotas Horizontais:
Analisamos o limite de quando
tende a
:
Analisamos o limite de
Portanto, há uma assíntota horizontal em
.
Assíntotas Oblíquas:
Não existem, pois o grau do numerador e denominador são iguais e já determinamos a assíntota horizontal.
Não existem, pois o grau do numerador e denominador são iguais e já determinamos a assíntota horizontal.
Resposta da parte i):
- Assíntotas verticais em
e - Assíntota horizontal em
- Não há assíntotas oblíquas
Passo 11
Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico de
:
- Domínio:
- Intercepto com
: - Assíntotas Verticais: Linhas em
e - Assíntota Horizontal: Linha em
- Extremo Local: Máximo em
- Concavidade: Sempre para cima
- Crescimento e Decrescimento: Conforme os intervalos determinados
O gráfico terá duas ramos separados devido às assíntotas verticais, aproximando-se da assíntota horizontal
conforme
tende a
.
Resposta
Finalizando, a análise completa da função
inclui:
a) Domínio:
b) Intervalo de continuidade:
c) Intercepto com
:
; sem interceptos com
d) Número crítico em
e) Máximo local em
f) Crescente em
e
; Decrescente em
e
g) Concavidade para cima em todo o domínio
h) Sem pontos de inflexão
i) Assíntotas verticais em
e
; assíntota horizontal em
j) Esboço do gráfico com os elementos mencionados acima