(5,0) Seja f(x)=x^2+9x^2-4, pede-se:
a) Domínio de f,
b) Intervalo de continuidade,
c) Interceptos,
d) Números críticos,
e) Extremos locais,
f) Intervalos de crescimento e decrescimento,
g) Análise da concavidade,
h) Ponto de inflexão (se não existir, justifique),
i) Assíntotas (se não existir, justifique),
j) Esboço do gráfico.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve a função f(x) = x^2 + 9x^2 - 4 . O objetivo é analisar diferentes características dessa função, como domínio, continuidade, interceptos, números críticos, extremos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar de conceitos de álgebra, cálculo diferencial e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio consiste em todos os valores de x para os quais a função está definida. Como f(x) é uma razão, precisamos garantir que o denominador não seja zero.
A função é definida se x^2 - 4 neq 0 .
x^2 - 4 neq 0 implies x^2 neq 4 implies x neq pm 2
Resposta da parte a): O domínio de f é todos os números reais exceto x = 2 e x = -2 , ou seja, R setminus -2, 2 .

Passo 3

A continuidade de uma função em um intervalo significa que não há interrupções ou saltos na função dentro desse intervalo. Como f(x) é uma função racional, ela é contínua em todo o seu domínio.
Resposta da parte b): O intervalo de continuidade de f é R setminus -2, 2 .

Passo 4

Vamos encontrar os interceptos com os eixos x e y .
Intercepto com o eixo y :
Substituímos x = 0 na função:
f(0) = 0^2 + 90^2 - 4 = 9-4 = -94
Portanto, o intercepto com o eixo y é (0, -94) .
Interceptos com o eixo x :
Para encontrar os interceptos com o eixo x , resolvemos f(x) = 0 :
x^2 + 9x^2 - 4 = 0 implies x^2 + 9 = 0
Não há soluções reais para x^2 + 9 = 0 , pois x^2 é sempre não negativo e nunca pode somar 9 para resultar em zero.
Resposta da parte c):
  • Intercepto com o eixo y : (0, -94)
  • Não há interceptos com o eixo x .

Passo 5

Números críticos são valores de x onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos encontrar a derivada de f(x) .
Primeiro, encontramos f'(x) usando a regra do quociente:
f'(x) = (2x)(x^2 - 4) - (x^2 + 9)(2x)(x^2 - 4)^2 = 2x(x^2 - 4 - x^2 - 9)(x^2 - 4)^2 = 2x(-13)(x^2 - 4)^2 = -26x(x^2 - 4)^2
Agora, igualamos f'(x) = 0 :
-26x(x^2 - 4)^2 = 0 implies x = 0
Resposta da parte d): O único número crítico é x = 0 .

Passo 6

Para determinar se o número crítico x = 0 é um máximo ou mínimo, analisamos o sinal da derivada antes e depois de x = 0 .
Escolhemos valores de teste:
  • Para x < 0 , por exemplo x = -1 :
f'(-1) = -26(-1)((-1)^2 - 4)^2 = 26(1 - 4)^2 = 269 > 0
  • Para x > 0 , por exemplo x = 1 :
f'(1) = -26(1)(1 - 4)^2 = -269 < 0
Como a derivada muda de positiva para negativa em x = 0 , temos um máximo local.
Calculamos f(0) = -94 , então o ponto é (0, -94) .
Resposta da parte e): A função possui um máximo local em x = 0 com valor f(0) = -94 .

Passo 7

Analisamos o sinal da derivada f'(x) = -26x(x^2 - 4)^2 :
  • Quando f'(x) > 0 : Crescimento
  • Quando f'(x) < 0 : Decrescimento
Considerando (x^2 - 4)^2 > 0 para x neq pm 2 :
  • Para x < 0 : -26x > 0 => Crescimento
  • Para x > 0 : -26x < 0 => Decrescimento
Resposta da parte f):
  • Crescente em (-infty, -2) e (-2, 0)
  • Decrescente em (0, 2) e (2, +infty)

Passo 8

Para analisar a concavidade, precisamos da segunda derivada f''(x) .
Primeiro, derivamos f'(x) = -26x(x^2 - 4)^2 :
f''(x) = -26(x^2 - 4)^2 - (-26x)(2)(x^2 - 4)(2x)(x^2 - 4)^4
Simplificando:
f''(x) = -26(x^2 - 4)^2 + 104x^2(x^2 - 4)(x^2 - 4)^4 = (-26)(x^2 - 4) + 104x^2(x^2 - 4)^3 = -26x^2 + 104x^2 + 104(x^2 - 4)^3 = 78x^2 + 104(x^2 - 4)^3
Analisamos o sinal de f''(x) :
78x^2 + 104 > 0 para todo x neq pm2
Portanto, f''(x) > 0 , indicando concavidade para cima.
Resposta da parte g): A função é concava para cima em todo o seu domínio.

Passo 9

Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde f''(x) = 0 ou não existe. Analisando f''(x) :
78x^2 + 104 > 0 sempre positivo e f''(x) não existe em x = pm2 ã
Como não há mudança na concavidade, não existem pontos de inflexão.
Resposta da parte h): Não existem pontos de inflexão na função f .

Passo 10

Vamos identificar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
Assíntotas Verticais:
Ocorrrem onde o denominador é zero e o numerador é diferente de zero.
x^2 - 4 = 0 implies x = pm2
Então, temos assíntotas verticais em x = 2 e x = -2 .
Assíntotas Horizontais:
Analisamos o limite de f(x) quando x tende a pminfty :
limx to pminfty x^2 + 9x^2 - 4 = 11 = 1
Portanto, há uma assíntota horizontal em y = 1 .
Assíntotas Oblíquas:
Não existem, pois o grau do numerador e denominador são iguais e já determinamos a assíntota horizontal.
Resposta da parte i):
  • Assíntotas verticais em x = 2 e x = -2
  • Assíntota horizontal em y = 1
  • Não há assíntotas oblíquas

Passo 11

Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico de f(x) :
  • Domínio: R setminus -2, 2
  • Intercepto com y : (0, -94)
  • Assíntotas Verticais: Linhas em x = 2 e x = -2
  • Assíntota Horizontal: Linha em y = 1
  • Extremo Local: Máximo em (0, -94)
  • Concavidade: Sempre para cima
  • Crescimento e Decrescimento: Conforme os intervalos determinados
O gráfico terá duas ramos separados devido às assíntotas verticais, aproximando-se da assíntota horizontal y = 1 conforme x tende a pminfty .

Resposta

Finalizando, a análise completa da função f(x) = x^2 + 9x^2 - 4 inclui:
a) Domínio: R setminus -2, 2
b) Intervalo de continuidade: R setminus -2, 2
c) Intercepto com y : (0, -94) ; sem interceptos com x
d) Número crítico em x = 0
e) Máximo local em (0, -94)
f) Crescente em (-infty, -2) e (-2, 0) ; Decrescente em (0, 2) e (2, +infty)
g) Concavidade para cima em todo o domínio
h) Sem pontos de inflexão
i) Assíntotas verticais em x = 2 e x = -2 ; assíntota horizontal em y = 1
j) Esboço do gráfico com os elementos mencionados acima

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