Considere a função
f(x, y)= x^2-x yx^2+y^2 & , se (x, y) neq(0,0) 0 & , se (x, y)=(0,0)
f é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= dfracx^2-x yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pergunta se f é contínua em (0,0). Para isso, precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0.

Passo 2

Vamos estudar o limite ao longo de retas que passam pela origem, isto é, y=mx com m fixo. Substituindo em f:
f(x,mx) =x^2-x,(m x)x^2+(m x)^2 =x^2(1-m)x^2(1+m^2) =1-m1+m^2
Como essa expressão não depende de x, ao fazermos xto0 obtemos diretamente
lim(x,y)to(0,0),,y=mxf(x,y) =1-m1+m^2

Passo 3

O valor tfrac1-m1+m^2 depende do parâmetro m. Por exemplo:
  • Se m=0, o limite vale tfrac1-01+0=1.
  • Se m=1, o limite vale tfrac1-11+1=0.
Como obtemos dois resultados diferentes ao mudar a reta de aproximação, o limite geral não existe. Logo,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe (não se reduz a um único valor).

Resposta

f não é contínua em (0,0), pois o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.

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