Considere a função
f(x, y)= x^2-x yx^2+y^2 & , se (x, y) neq(0,0) 0 & , se (x, y)=(0,0)
f é contínua em (1,1) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x^2-x yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pergunta se f é contínua em (1,1). O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis, em especial quociente de polinômios.]

Passo 2

Como (1,1)neq(0,0), existe uma vizinhança de (1,1) em que f é dada pela expressão
f(x,y)=x^2-x yx^2+y^2,
onde o denominador x^2+y^2 é uma função contínua e vale 1^2+1^2=2neq0 em (1,1).

Passo 3

Sabemos que polinômios são funções contínuas e que soma, produto e quociente (desde que o denominador não zere) preservam continuidade. Como em (1,1) o denominador é 2neq0, existe de<a>0 tal que ,x^2+y^2neq0 para todo (x,y) com raiz(x-1)^2+(y-1)^2<de<a. Logo, o quociente é contínuo em (1,1).

Passo 4

Em particular, a continuidade implica
lim(x,y)to(1,1)f(x,y) =f(1,1) =1^2-1cdot11^2+1^2 =02 =0
O limite coincide com o valor de f no ponto, caracterizando continuidade.

Resposta

Sim, f é contínua em (1,1), pois é quociente de polinômios com denominador não nulo nesse ponto.

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