é contínua em (raiz22, raiz22). Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função [f(x, y)) definida por:
é contínua no ponto (\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)]. Vamos usar conceitos de limite e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde está o ponto (raiz22, raiz22) em relação à função. Calculando x^2 + y^2 :
(raiz22)^2 + (raiz22)^2 = 24 + 24 = 44 = 1
Então, x^2 + y^2 = 1 . Isso significa que o ponto está na fronteira onde a função muda de valor.
Passo 3
Para verificar a continuidade no ponto (raiz22, raiz22) , precisamos ver se:
lim(x,y) to (raiz22, raiz22) f(x, y) = f(raiz22, raiz22)
Sabemos que f(raiz22, raiz22) = 0 , já que x^2 + y^2 = 1 .
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite. Observe que para pontos próximos a (raiz22, raiz22) , se x^2 + y^2 < 1 , a função é e^(1x^2+y^2-1) . Vamos analisar o comportamento desse termo.
Quando x^2 + y^2 se aproxima de 1 pela esquerda (ou seja, x^2 + y^2 < 1 mas perto de 1), o denominador x^2+y^2-1 está se aproximando de 0 negativo. Então, 1x^2+y^2-1 tende para -infty , e e^-infty = 0 .
Passo 5
Se x^2 + y^2 >= 1 , a função já é definida como 0. Então, de ambos os lados, o limite tende a 0.