Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1(2 n)^3

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+11(2n)^3
é convergente ou divergente. O conteúdo usado será o Teste da Série Alternada (Leibniz) e o Teste da Série de p-série.

Passo 2

Definimos o termo geral
an=(-1)^n+11(2n)^3
e consideramos bn=1(2n)^3. Note que ,bn>0, limntoinftybn=0 e que bn+1<bn para todo n, pois nmapsto n^3 é crescente.

Passo 3

Pelo Teste de Leibniz, como bn é positiva, decrescente e tende a zero, a série
sumn=1^infty(-1)^n+1bn
converge (condicionalmente ou absolutamente).

Passo 4

Verificamos a convergência absoluta calculando
sumn=1^inftyl|anr| =sumn=1^infty1(2n)^3 =18sumn=1^infty1n^3
Como sumn=1^infty1/n^3 é uma p-série com p=3>1, ela converge. Logo a série de termos absolutos converge.

Passo 5

Da convergência da série de termos absolutos segue que a série original converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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