Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternada
é convergente ou divergente. O conteúdo usado será o Teste da Série Alternada (Leibniz) e o Teste da Série de p-série.
Passo 2
Definimos o termo geral
e consideramos
. Note que
,
e que
para todo
, pois
é crescente.
Passo 3
Pelo Teste de Leibniz, como
é positiva, decrescente e tende a zero, a série
converge (condicionalmente ou absolutamente).
Passo 4
Verificamos a convergência absoluta calculando
Como
sumn=1^infty1/n^3 é uma p-série com
p=3>1 , ela converge. Logo a série de termos absolutos converge.
Passo 5
Da convergência da série de termos absolutos segue que a série original converge absolutamente, e portanto converge.
Resposta
A série converge absolutamente (e, portanto, converge).