Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 2^nn !

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a série
sumn=1^+infty(-1)^n+12^nn!
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Aqui vamos usar o teste da razão na série de valores absolutos para verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Consideramos a série dos módulos dos termos, isto é
sumn=1^+inftygl|;(-1)^n+12^nn!gr| =sumn=1^+infty2^nn!
Aplicamos o teste da razão: definimos an=2^nn! e calculamos
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty2^n+1(n+1)!2^nn! =limntoinfty2n+1 =0
Como L=0<1, a série sum an converge.

Passo 3

Como a série dos módulos sumn=1^+inftytfrac2^nn! é convergente, concluímos que a série original converge absolutamente. Lembrando que convergência absoluta implica convergência.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados