Considere a função:
f(x)=e^-x-cos (x), x in[1,2]
(i) Prove que f tem uma raíz x^* in[1,2].
(ii) Considerando x0=1.5, qual é a aproximação x4 para a ráiz de f, se for usado o método de Newton? Use 5 casas decimais e truncamento.

Passo 1

A ideia é mostrar que existe raiz de f em [1,2] usando o Teorema do Valor Intermediário e depois aproximá-la com o Método de Newton truncando em 5 casas decimais.

Passo 2

Calculo f(1) e f(2) para aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Temos:
f(1)=e^-1-cos(1)approx0.36788-0.54030=-0.17242,
f(2)=e^-2-cos(2)approx0.13534-(-0.41615)=0.55149
Como f(1)<0 e f(2)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um x^* em [1,2] tal que f(x^*)=0.

Passo 3

Derivo f para montar a iteração de Newton.
Temos
f(x)=e^-x-cos(x),
f'(x)=-e^-x+sin(x)
A fórmula de Newton é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)

Passo 4

Faço as duas primeiras iterações truncando cada x_n em 5 casas decimais:
Para x_0=1.50000:
f(1.5)approx0.15239, f'(1.5)approx0.77436 implies x1=1.5-0.15239/0.77436approx1.30318,
truncando em 5 casas: x_1=1.30318.
Em seguida:
f(1.30318)approx0.00491, f'(1.30318)approx0.69220 implies x2=1.30318-0.00491/0.69220approx1.29609,
truncando: x_2=1.29609.

Passo 5

Faço as duas próximas iterações também com truncamento em 5 casas:
Para x_2=1.29609:
f(1.29609)approx0.00170, f'(1.29609)approx0.68840 implies x3=1.29609-0.00170/0.68840approx1.29362,
truncando: x_3=1.29362.
Por fim, para x_3=1.29362:
f(1.29362)approx-0.00028, f'(1.29362)approx0.68713 implies x4=1.29362-(-0.00028)/0.68713approx1.29402,
truncando: x_4=1.29402.

Resposta

(i) Como f(1)·f(2)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz x^* em [1,2]. (ii) Aplicando o Método de Newton com truncamento em 5 casas decimais até x_4, obtemos x_4 = 1.29402.

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