Considere a função:
(i) Prove que
tem uma raíz
.
(ii) Considerando
, qual é a aproximação
para a ráiz de
, se for usado o método de Newton? Use 5 casas decimais e truncamento.
(ii) Considerando
Passo 1
A ideia é mostrar que existe raiz de f em [1,2] usando o Teorema do Valor Intermediário e depois aproximá-la com o Método de Newton truncando em 5 casas decimais.
Passo 2
Calculo f(1) e f(2) para aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Temos:
Como f(1)<0 e f(2)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um x^* em [1,2] tal que f(x^*)=0.
Passo 3
Derivo f para montar a iteração de Newton.
Temos
Temos
A fórmula de Newton é
Passo 4
Faço as duas primeiras iterações truncando cada x_n em 5 casas decimais:
Para x_0=1.50000:
Para x_0=1.50000:
truncando em 5 casas: x_1=1.30318.
Em seguida:
Em seguida:
truncando: x_2=1.29609.
Passo 5
Faço as duas próximas iterações também com truncamento em 5 casas:
Para x_2=1.29609:
Para x_2=1.29609:
truncando: x_3=1.29362.
Por fim, para x_3=1.29362:
Por fim, para x_3=1.29362:
truncando: x_4=1.29402.
Resposta
(i) Como f(1)·f(2)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz x^* em [1,2]. (ii) Aplicando o Método de Newton com truncamento em 5 casas decimais até x_4, obtemos x_4 = 1.29402.