Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
t^3y'+4t^2y=e^-t, y(-1)=0, t<0,
que é uma equação diferencial de primeira ordem e coeficientes variáveis. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primero colocamos em forma padrão
y'+4t,y = t^-3e^-t
Aqui identificamos P(t)=4/t e Q(t)=t^-3e^-t.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral 4t,dtr)=exp(4ln|t|)=t^4(t<0 implica |t|=-t, mas (-t)^4=t^4)

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t^4 obtemos
t^4y'+4t^3y = t^4cdot t^-3e^-t=t,e^-t
O lado esquerdo é tfracddt(t^4y), logo
ddt(t^4y)=t,e^-t
Integramos em t:
t^4y = integral t,e^-t,dt + C = -l(t+1r)e^-t + C

Passo 5

Usamos a condição y(-1)=0. Em t=-1 temos
(-1)^4,y(-1) = -( (-1)+1)e^-(-1) + C Longrightarrow 1cdot 0 = -0cdot e^1 + C Longrightarrow C=0

Passo 6

Substituindo C=0 em t^4y=-(t+1)e^-t e isolando y, obtemos a solução no domínio t<0:
y(t) = -(t+1)e^-tt^4

Resposta

boxedy(t) = -(t+1)e^-tt^4, t<0

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