Usando coordenadas polares calcule
,
onde
é a região que está à esquerda do eixo
e entre as retas
e a circunferência
.
Resposta:
onde
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos calcular
onde
é a parte do disco
que fica à esquerda do eixo
(ou seja
) e está entre as retas
e
.
Matéria envolvida: integrais duplas usando coordenadas polares.
O que vamos precisar:
Matéria envolvida: integrais duplas usando coordenadas polares.
O que vamos precisar:
- Converter
e em e . - Lembrar que
. - Encontrar corretamente os limites de
e .
Passo 2
Por que usar polares?
Quando a região é parte de um círculo, fica bem mais simples. A regra é:
Quando a região é parte de um círculo, fica bem mais simples. A regra é:
Passo 3
Achar os limites:
- O círculo
vira . - A condição
em polares é , ou seja entre e . - As retas
e correspondem aos ângulos (para ) e (para ).
Focando só na parte esquerda, vemos quevai de até .
Passo 4
Escrevendo a integral em polares:
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Então fica
Passo 6
Agora em
:
Avaliando de
a
:
- Em
: - Em
:
Diferença:.
Multiplicando pordá .