Usando coordenadas polares calcule
integralegral duplaR(x+y) d A,
onde R é a região que está à esquerda do eixo y e entre as retas y=-x, y=x e a circunferência x^2+y^2=1.
Resposta: square

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular
integral duplaR(x+y),dA,
onde R é a parte do disco x^2+y^2<=1 que fica à esquerda do eixo y (ou seja x<=0) e está entre as retas y=x e y=-x.
Matéria envolvida: integrais duplas usando coordenadas polares.
O que vamos precisar:
  • Converter x e y em rcostheta e rsintheta.
  • Lembrar que dA=r,dr,dtheta.
  • Encontrar corretamente os limites de r e theta.

Passo 2

Por que usar polares?
Quando a região é parte de um círculo, fica bem mais simples. A regra é:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 3

Achar os limites:
  • O círculo x^2+y^2=1 vira 0<= r<=1.
  • A condição x<=0 em polares é costheta<=0, ou seja theta entre pi/2 e 3pi/2.
  • As retas y=x e y=-x correspondem aos ângulos theta=pi/4,5pi/4 (para y=x) e theta=3pi/4,7pi/4 (para y=-x).
    Focando só na parte esquerda, vemos que theta vai de 3pi/4 até 5pi/4.

Passo 4

Escrevendo a integral em polares:
integral duplaR (x+y),dA = integraltheta=3pi/4^5pi/4 integralr=0^1 l(rcostheta + rsinthetar),r,dr,dtheta = integral3pi/4^5pi/4integral0^1 r^2(costheta+sintheta),dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em r:
integral0^1 r^2,dr = 13
Então fica
13,integral3pi/4^5pi/4 (costheta + sintheta),dtheta

Passo 6

Agora em theta:
integral(costheta+sintheta),dtheta = sintheta - costheta
Avaliando de 3pi/4 a 5pi/4:
  • Em theta=5pi/4: sin=-tfracraiz22,;cos=-tfracraiz22Rightarrowsintheta-costheta=0
  • Em theta=3pi/4: sin=tfracraiz22,;cos=-tfracraiz22Rightarrowsintheta-costheta=raiz2
    Diferença: 0 - raiz2 = -raiz2.
    Multiplicando por 1/3 -tfracraiz23.

Resposta

-raiz23

Exercícios relacionados