Considere a função
onde o ângulo
é medido em radianos.
(a) Usando relações de triângulos no círculo unitário verifique geometricamente que valem as desigualdades
para todo
.
(b) Mostre que
.
(a) Usando relações de triângulos no círculo unitário verifique geometricamente que valem as desigualdades
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata da função
(ângulo em radianos) no intervalo
.
(a) Precisamos usar argumentos geométricos no círculo unitário para mostrar
(a) Precisamos usar argumentos geométricos no círculo unitário para mostrar
(b) Com essas desigualdades, aplicar o Teorema do Confronto para concluir que
.
Passo 2
Para ver que
, basta notar que, no círculo de raio
, o ponto
tem abscissa
que não pode ultrapassar a distância máxima ao eixo
, isto é, o raio. Logo
Passo 3
Para mostrar
, considere no círculo unitário o ponto
e
.
- O comprimento do arco
é exatamente (raio ). - O comprimento da corda
vale
Como a corda é sempre menor ou igual ao arco,
Além disso, usando
, temos
Passo 4
Das desigualdades obtidas para
temos
Quando
, o lado esquerdo
e o lado direito é sempre
. Pelo Teorema do Confronto,
Resposta
(a) Usando o círculo unitário, vimos que
e
para
.
(b) Logo, pelo Teorema do Confronto, .
(b) Logo, pelo Teorema do Confronto,