Considere a função \cos (x) onde o ângulo x é medido em radianos.
(a) Usando relações de triângulos no círculo unitário verifique geometricamente que valem as desigualdades \cos (x) \leq 1 \mathrm{e} 1-\cos (x) \leq x para todo x \in] 0, \pi / 2[.
(b) Mostre que \lim _{x \rightarrow 0} \cos (x)=1.

Passo 1

O enunciado trata da função \cos(x) (ângulo em radianos) no intervalo 0<x<\tfrac{\pi}{2}.
(a) Precisamos usar argumentos geométricos no círculo unitário para mostrar
\cos(x)\le1 \quad\text{e}\quad 1-\cos(x)\le x.
(b) Com essas desigualdades, aplicar o Teorema do Confronto para concluir que \lim_{x\to0}\cos(x)=1.

Passo 2

Para ver que \cos(x)\le1, basta notar que, no círculo de raio 1, o ponto P=(\cos x,\sin x) tem abscissa \cos x que não pode ultrapassar a distância máxima ao eixo y, isto é, o raio. Logo
\cos(x)\le1.

Passo 3

Para mostrar 1-\cos(x)\le x, considere no círculo unitário o ponto A=(1,0) e P=(\cos x,\sin x).
  • O comprimento do arco AP é exatamente x (raio 1).
  • O comprimento da corda AP vale
|AP|=2\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Como a corda é sempre menor ou igual ao arco,
2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\le x.
Além disso, usando \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\le1, temos
1-\cos(x) =2\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) \le2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) \le x.

Passo 4

Das desigualdades obtidas para 0<x<\tfrac{\pi}{2} temos
1-\;x\;\le \cos(x)\le1.
Quando x\to0^+, o lado esquerdo 1 - x\to1 e o lado direito é sempre 1. Pelo Teorema do Confronto,
\lim_{x\to0^+}\cos(x)=1.

Resposta

(a) Usando o círculo unitário, vimos que \cos(x)\le1 e 1-\cos(x)\le x para 0<x<\tfrac{\pi}{2}.
(b) Logo, pelo Teorema do Confronto, \displaystyle\lim_{x\to0}\cos(x)=1.

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