Seja f: X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e L \in \mathbb{R}.
Se x_{0} \in X_{+}^{\prime}, mostre que L é o limite lateral de f à direita de x_{0} se, e somente se, para toda sequência \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} em \left.X \cap\right] x_{0}, \infty\left[\right. com \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0} tem-se que \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=L.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas definições de limite lateral à direita de f em x_{0}:
  1. Definição \varepsilon - \delta:
\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
\text{se }x\in X\text{ e }x_{0}<x<x_{0}+\delta,\text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã
  1. Definição sequencial: para toda sequência \bigl(x_{n}\bigr)\subset X\cap\bigl(x_{0},\infty\bigr) com \lim_{n\to\infty}x_{n}=x_{0}, tem-se \lim_{n\to\infty}f(x_{n})=L.
    O conteúdo é o teorema que caracteriza limites via sequências. Vamos provar as duas implicações.

Passo 2

(“ \varepsilon - \delta \implies sequencial”)
Suponha que \lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L segundo a definição \varepsilon - \delta. Seja \bigl(x_{n}\bigr)\subset X\cap(x_{0},\infty) com \lim_{n\to\infty}x_{n}=x_{0}.
Dado \varepsilon>0, pela definição existe \delta>0 tal que, sempre que x_{0}<x<x_{0}+\delta, vale |f(x)-L|<\varepsilon.
Como x_{n}\to x_{0}, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
0 < x_{n}-x_{0} < \delta.
Logo para n\ge N temos x_{0}<x_{n}<x_{0}+\delta e, portanto,
|f(x_{n})-L|<\varepsilon.
Isso mostra que f(x_{n})\to L.

Passo 3

(sequencial \implies \varepsilon - \delta”)
Suponha agora que toda sequência \bigl(x_{n}\bigr)\subset X\cap(x_{0},\infty) com x_{n}\to x_{0} satisfaz f(x_{n})\to L. Queremos provar a condição \varepsilon - \delta.
Façamos prova por contradição. Se não existisse \delta>0 para algum \varepsilon_{0}>0, então para todo k\in\mathbb{N} poderíamos escolher
x_{k}\in X\cap\bigl(x_{0},x_{0}+\tfrac1{k}\bigr) \quad\text{com}\quad |f(x_{k})-L|\ge\varepsilon_{0}.
Note que x_{k}-x_{0}<1/k implica x_{k}\to x_{0} e x_{k}>x_{0}. Assim \bigl(x_{k}\bigr)\subset X\cap(x_{0},\infty) e x_{k}\to x_{0}, mas |f(x_{k})-L|\ge\varepsilon_{0} impede f(x_{k})\to L. Contradição. Logo a condição \varepsilon - \delta deve valer para todo \varepsilon>0.

Resposta

Fica, portanto, demonstrado que
\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \text{para toda sequência }(x_{n})\subset X\cap(x_{0},\infty),\,x_{n}\to x_{0}, \;\text{temos }f(x_{n})\to L.ê

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