Seja
e
.
Se
, mostre que
é o limite lateral de
à direita de
se, e somente se, para toda sequência
em
com
tem-se que
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas definições de limite lateral à direita de
em
:
- Definição
:
significa que, para todo
, existe
tal que
- Definição sequencial: para toda sequência
com , tem-se .
O conteúdo é o teorema que caracteriza limites via sequências. Vamos provar as duas implicações.
Passo 2
(“
sequencial”)
Suponha que segundo a definição
. Seja
com
.
Dado , pela definição existe
tal que, sempre que
, vale
.
Como , existe
tal que, para todo
,
Suponha que
Dado
Como
Logo para
temos
e, portanto,
Isso mostra que
.
Passo 3
(sequencial
“
”)
Suponha agora que toda sequência com
satisfaz
. Queremos provar a condição
.
Façamos prova por contradição. Se não existisse para algum
, então para todo
poderíamos escolher
Suponha agora que toda sequência
Façamos prova por contradição. Se não existisse
Note que
implica
e
. Assim
e
, mas
impede
. Contradição. Logo a condição
deve valer para todo
.
Resposta
Fica, portanto, demonstrado que