Seja f: X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e L \in \mathbb{R}.
Se x_{0} \in X_{-}^{\prime}, mostre que L é o limite lateral de f à esquerda de x_{0} se, e somente se, para toda sequência \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} em \left.X \cap\right]-\infty, x_{0}\left[\right. com \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0} tem-se que \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=L.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre a definição \varepsilon \delta de limite lateral à esquerda
\lim_{x\to x_{0}^-}f(x)=L
e o critério sequencial: “para toda sequência \bigl(\(x_{n}\bigr)) em X\cap\,]-\infty,\(x_{0}[) tal que \\(lim_{n\to\infty}x_ n=x_0), vale \\(lim_{n\to\infty}f( x_n)=L)”.
Vamos usar:
  • A definição de limite lateral à esquerda (epsilon–delta).
  • Propriedades de sequências convergentes e argumento por contradição.

Passo 2

Suponha primeiro que
\lim_{x\to x_{0}^-}f(x)=L
segundo a definição \varepsilon \delta. Ou seja, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se
x\in X,\quad x_0-\delta<x<x_0,
então
\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon.
Agora seja \bigl(\(x_n\bigr)) uma sequência em X\cap\,]-\infty,\(x_{0}[) com \\(lim_{n\to\infty}x_ n=x_0).
Como \(x_n\to x_0), existe N tal que, para todo n\ge N,
x_0-\delta < x_n < x_0.
Pelo critério \varepsilon \delta, para n\ge N temos \bigl|f(\(x_n)-L\bigr|<\varepsilon). Logo \\(lim_{n\to\infty}f( x_n)=L).

Passo 3

Agora provamos o recíproco por contradição. Suponha que a definição \varepsilon \delta falhe. Então existe \\(varepsilon_{0}>0) tal que, para todo \delta>0, encontramos x\in X com
x_0-\delta < x < x_0 \quad\text{e}\quad \bigl|f(x)-L\bigr|\ge \varepsilon_{0}.
Em particular, para cada n\in\mathbb{N} aplique \delta=\tfrac1n e escolha \(x_n\in X) satisfazendo
x_0-\tfrac1n < x_n < x_0 \quad\text{e}\quad \bigl|f(x_n)-L\bigr|\ge \varepsilon_{0}.
Então \(x_n\to x_0) e, por construção, \bigl|f(\(x_n)-L\bigr|\ge \(varepsilon_{0})) para todo n, o que impede \\(lim_{n\to\infty}f( x_n)=L). Isso contradiz a hipótese do critério sequencial. Portanto a definição \varepsilon \delta deve valer.

Passo 4

Concluímos que a afirmação “ \\(lim_{x\to x_{0}^-}f(x)=L)” é equivalente a “para toda sequência \bigl(\(x_n\bigr)) em X\cap\,]-\infty,\(x_{0}[) com \(x_n\to x_0) vale f(\(x_n)\to L)”.

Resposta

Mostramos que cada definição implica a outra, logo elas são equivalentes.

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