Considere a função \sin (x) onde o ângulo x é medido em radianos.
(a) Usando relações de triângulos no círculo unitário verifique geometricamente que valem as desigualdades \sin (x) \leq x \leq \tan (x) para todo x \in] 0, \pi / 2[.
(b) Mostre que \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x}=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função \sin(x) com x em radianos:
  1. Mostrar geometricamente, no círculo de raio unitário, que para todo x\in(0,\pi/2) vale
\sin(x)\le x\le\tan(x).
  1. A partir disso, usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para concluir que
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1.
Vamos precisar de noções de área de setor circular e de triângulos em relação ao ângulo central x.

Passo 2

Considere o círculo de raio 1 com centro em O. Seja A=(1,0) o ponto na interseção com o eixo x positivo, e seja B=(\cos x,\sin x) o ponto na circunferência que corresponde ao ângulo central \angle AOB = x.
  • O triângulo OAB tem base OA=1 e altura igual à ordenada de B, isto é, \sin(x).
  • O setor circular OAB tem área proporcional ao ângulo x.
  • Traçando a reta tangente à circunferência em A, ela intersecta a reta OB num ponto C. O triângulo OAC tem base OA=1 e altura igual à ordenada de C, que é \tan(x).

Passo 3

Agora calculamos as três áreas:
  1. Área do triângulo OAB:
\text{Área}(OAB) = \frac{1}{2}\cdot OA\cdot (\text{altura}) = \frac{1}{2}\cdot1\cdot\sin(x) = \frac{\sin(x)}{2}.Á
  1. Área do setor OAB:
\text{Área(setor)} = \frac{x}{2\pi}\cdot (\pi\cdot1^2) = \frac{x}{2}.Á
  1. Área do triângulo OAC:
\text{Área}(OAC) = \frac{1}{2}\cdot OA\cdot(\text{altura}) = \frac{1}{2}\cdot1\cdot\tan(x) = \frac{\tan(x)}{2}.Á
Pela posição relativa das figuras no círculo unitário, temos
\frac{\sin(x)}{2} \;\le\;\frac{x}{2} \;\le\;\frac{\tan(x)}{2},
e multiplicando tudo por 2 chega-se a
\sin(x)\le x\le\tan(x),
para todo x\in(0,\pi/2).

Passo 4

Da desigualdade \sin(x)\le x obtemos
\frac{\sin(x)}{x}\le1,
e de x\le\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} segue
x\cos(x)\le\sin(x) \quad\Longrightarrow\quad \cos(x)\le\frac{\sin(x)}{x}.
Assim
\cos(x)\le\frac{\sin(x)}{x}\le1.

Passo 5

Como \lim_{x\to0}\cos(x)=1, pelo Teorema do Confronto concluímos
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1.

Resposta

(a) Para todo x\in(0,\pi/2), \sin(x)\le x\le\tan(x).
(b) \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1.

Exercícios relacionados