Considere a função
onde o ângulo
é medido em radianos.
(a) Usando relações de triângulos no círculo unitário verifique geometricamente que valem as desigualdades
para todo
.
(b) Mostre que
.
(a) Usando relações de triângulos no círculo unitário verifique geometricamente que valem as desigualdades
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
com
em radianos:
- Mostrar geometricamente, no círculo de raio unitário, que para todo
vale
- A partir disso, usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para concluir que
Vamos precisar de noções de área de setor circular e de triângulos em relação ao ângulo central
.
Passo 2
Considere o círculo de raio 1 com centro em
. Seja
o ponto na interseção com o eixo
positivo, e seja
o ponto na circunferência que corresponde ao ângulo central
.
- O triângulo
tem base e altura igual à ordenada de , isto é, . - O setor circular
tem área proporcional ao ângulo . - Traçando a reta tangente à circunferência em
, ela intersecta a reta num ponto . O triângulo tem base e altura igual à ordenada de , que é .
Passo 3
Agora calculamos as três áreas:
- Área do triângulo
:
- Área do setor
:
- Área do triângulo
:
Pela posição relativa das figuras no círculo unitário, temos
e multiplicando tudo por 2 chega-se a
para todo
.
Passo 4
Da desigualdade
obtemos
e de
segue
Assim
Passo 5
Como
, pelo Teorema do Confronto concluímos
Resposta
(a) Para todo
,
(b)
(b)