Uma função f é dita crescente se f(x) \leq f(y) para todo x, y \in D(f) tal que x<y. Analogamente, f é dita decrescente se f(x) \geq f(y) para todo x, y \in D(f) tal que x<y. f será chamada função monótona se for crescente o decrescente. Seja a<b e f:] a, b[\rightarrow \mathbb{R} uma função monótona e limitada. Mostre que existem os limites
\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f:(a,b)\to\mathbb{R} que é monótona (ou crescente ou decrescente) e limitada. Precisamos mostrar que o limite pela direita em a,
\lim_{x\to a^+}f(x),
existe (é finito). Vamos usar o fato de que todo conjunto não vazio e limitado inferiormente em \mathbb{R} tem ínfimo, e todo conjunto não vazio e limitado superiormente tem supremo.

Passo 2

Suponha primeiro que f seja crescente. Então o conjunto
S=\{f(x)\mid x\in(a,b)\}
é não vazio e limitado inferiormente (pela própria hipótese de f limitada). Seja
m=\inf S.
Mostraremos que
\lim_{x\to a^+}f(x)=m.
De fato, dado \varepsilon>0, pela definição de ínfimo existe algum x_\varepsilon\in(a,b) tal que
m \le f(x_\varepsilon) < m+\varepsilon.
Como x_\varepsilon>a, tome \delta = x_\varepsilon - a>0. Então, para todo x com
a < x < a+\delta = x_\varepsilon,
temos x<x_\varepsilon e, pela monotonicidade crescente,
m \le f(x)\le f(x_\varepsilon) < m+\varepsilon.
Isto mostra que, sempre que 0< x-a<\delta, vale \lvert f(x)-m\rvert<\varepsilon. Logo \lim_{x\to a^+}f(x)=m.

Passo 3

Agora suponha que f seja decrescente. Então o conjunto
S=\{f(x)\mid x\in(a,b)\}
é limitado superiormente, e seja
M=\sup S.
De modo análogo ao caso crescente, dado \varepsilon>0 existe x_\varepsilon\in(a,b) tal que
M-\varepsilon < f(x_\varepsilon)\le M,
e, tomando \delta = x_\varepsilon - a, para todo x\in(a,a+\delta) temos x<x_\varepsilon e, pela monotonicidade decrescente,
M-\varepsilon < f(x_\varepsilon)\le f(x)\le M,
logo \lvert f(x)-M\rvert<\varepsilon. Assim \lim_{x\to a^+}f(x)=M.

Resposta

Se f é crescente então
\lim_{x\to a^+}f(x)=\inf_{x\in(a,b)}f(x),
e se f é decrescente então
\lim_{x\to a^+}f(x)=\sup_{x\in(a,b)}f(x).

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