Uma função
é dita crescente se
para todo
tal que
. Analogamente,
é dita decrescente se
para todo
tal que
.
será chamada função monótona se for crescente o decrescente. Seja
e
uma função monótona e limitada. Mostre que existem os limites
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
que é monótona (ou crescente ou decrescente) e limitada. Precisamos mostrar que o limite pela direita em
,
existe (é finito). Vamos usar o fato de que todo conjunto não vazio e limitado inferiormente em
tem ínfimo, e todo conjunto não vazio e limitado superiormente tem supremo.
Passo 2
Suponha primeiro que
seja crescente. Então o conjunto
é não vazio e limitado inferiormente (pela própria hipótese de
limitada). Seja
Mostraremos que
De fato, dado
, pela definição de ínfimo existe algum
tal que
Como
, tome
. Então, para todo
com
temos
e, pela monotonicidade crescente,
Isto mostra que, sempre que
, vale
. Logo
.
Passo 3
Agora suponha que
seja decrescente. Então o conjunto
é limitado superiormente, e seja
De modo análogo ao caso crescente, dado
existe
tal que
e, tomando
, para todo
temos
e, pela monotonicidade decrescente,
logo
. Assim
.
Resposta
Se
é crescente então
e se
é decrescente então