Considere a função
dada por
. Com base nesses dados, responda:
Dados
e
então
-
- Se
, então
Dados
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que pega um vetor
e transforma em um polinômio de grau 2 no
. A expressão da função é:
A questão pede para a gente mostrar duas propriedades:
- Adição: Para dois vetores
e , . - Multiplicação Escalar: Para um escalar
, .
Essas propriedades fazem parte do estudo de transformações lineares. Para resolver, vamos usar as regras de operações vetoriais e manipulação de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição:
.
Sejam
e
.
Calculando
:
Aplicando
:
Simplificando cada termo:
Calculando
:
Somando
:
Comparando com
, vemos que são iguais:
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação escalar:
.
Calculando
:
Aplicando
:
Fatorando o
:
Ou seja,
Resposta
Conseguimos mostrar que
e que
. Portanto, a função
satisfaz as propriedades de uma transformação linear.