Considere a função T: R^3 P2(R) dada por T(x, y, z)=(-x+6 z) t^2+(3 x+y-9 z) t+(z-x). Com base nesses dados, responda:
Dados v1=(x1, y1, z1), v2=(x2, y2, z2) e k in R então
  • T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)
  • Se k in R, então T(k cdot v1)=k cdot T(v1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função T: R^3 P2(R) que pega um vetor (x, y, z) e transforma em um polinômio de grau 2 no t . A expressão da função é:
T(x, y, z) = (-x + 6z) t^2 + (3x + y - 9z) t + (z - x)
A questão pede para a gente mostrar duas propriedades:
  1. Adição: Para dois vetores v1 e v2 , T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) .
  2. Multiplicação Escalar: Para um escalar k , T(k cdot v1) = k cdot T(v1) .
Essas propriedades fazem parte do estudo de transformações lineares. Para resolver, vamos usar as regras de operações vetoriais e manipulação de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição: T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) .
Sejam v1 = (x1, y1, z1) e v2 = (x2, y2, z2) .
Calculando T(v1 + v2) :
v1 + v2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Aplicando T :
T(v1 + v2) = ( - (x1 + x2) + 6(z1 + z2) ) t^2 + (3(x1 + x2) + (y1 + y2) - 9(z1 + z2)) ) t + ((z1 + z2) - (x1 + x2)) )
Simplificando cada termo:
= (-x1 - x2 + 6z1 + 6z2) t^2 + (3x1 + 3x2 + y1 + y2 - 9z1 - 9z2) t + (z1 + z2 - x1 - x2))
Calculando T(v1) + T(v2) :
T(v1) = (-x1 + 6z1) t^2 + (3x1 + y1 - 9z1) t + (z1 - x1))
T(v2) = (-x2 + 6z2) t^2 + (3x2 + y2 - 9z2) t + (z2 - x2))
Somando T(v1) + T(v2) :
= (-x1 + 6z1 - x2 + 6z2) t^2 + (3x1 + y1 - 9z1 + 3x2 + y2 - 9z2) t + (z1 - x1 + z2 - x2))
Comparando com T(v1 + v2) , vemos que são iguais:
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação escalar: T(k cdot v1) = k cdot T(v1) .
Calculando T(k cdot v1) :
k cdot v1 = (k x1, k y1, k z1)
Aplicando T :
T(k cdot v1) = ( -k x1 + 6k z1 ) t^2 + (3k x1 + k y1 - 9k z1) t + (k z1 - k x1))
Fatorando o k :
= k [ (-x1 + 6z1) t^2 + (3x1 + y1 - 9z1) t + (z1 - x1) ]
Ou seja,
T(k cdot v1) = k cdot T(v1)

Resposta

Conseguimos mostrar que T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) e que T(k cdot v1) = k cdot T(v1) . Portanto, a função T satisfaz as propriedades de uma transformação linear.

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