Considere a função T: R^3 P2(R) dada por T(x, y, z)=(-x+6 z) t^2+(3 x+y-9 z) t+(z-x). Com base nesses dados, responda:
Determine uma base para imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma base para a imagem da função linear T: R^3 P2(R) , onde T(x, y, z) = (-x + 6z) t^2 + (3x + y - 9z) t + (z - x) . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e imagens. Precisaremos analisar como os vetores de entrada são transformados e identificar uma base que descreva toda a imagem dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a imagem da transformação T . A imagem de T , denotada por Im(T) , é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando T a algum vetor de R^3 . Para encontrar uma base para Im(T) , vamos determinar quais são os polinômios gerados pelas combinações lineares das imagens dos vetores da base canônica de R^3 .

Passo 3

Vamos considerar a base canônica de R^3 , que são os vetores e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) . Vamos calcular T(e1) , T(e2) e T(e3) :
  • T(e1) = T(1, 0, 0) = (-1 + 6 cdot 0) t^2 + (3 cdot 1 + 0 - 9 cdot 0) t + (0 - 1) = -t^2 + 3t - 1
  • T(e2) = T(0, 1, 0) = (-0 + 6 cdot 0) t^2 + (3 cdot 0 + 1 - 9 cdot 0) t + (0 - 0) = t
  • T(e3) = T(0, 0, 1) = (-0 + 6 cdot 1) t^2 + (3 cdot 0 + 0 - 9 cdot 1) t + (1 - 0) = 6 t^2 - 9 t + 1

Passo 4

Agora temos três polinômios:
  1. p1(t) = -t^2 + 3t - 1
  2. p2(t) = t
  3. p3(t) = 6 t^2 - 9 t + 1
Queremos ver se esses polinômios são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para Im(T) . Caso contrário, precisamos encontrar uma combinação que reduza a lista a um conjunto linearmente independente.

Passo 5

Vamos montar uma combinação linear:
c1 p1(t) + c2 p2(t) + c3 p3(t) = 0
Substituindo os polinômios:
c1 (-t^2 + 3t - 1) + c2 t + c3 (6 t^2 - 9 t + 1) = 0
Distribuindo os termos:
(-c1 + 6 c3) t^2 + (3 c1 + c2 - 9 c3) t + (-c1 + c3) = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo t , os coeficientes de t^2 , t e o termo constante devem ser iguais a zero:
  1. -c1 + 6 c3 = 0
  2. 3 c1 + c2 - 9 c3 = 0
  3. -c1 + c3 = 0

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação 3:
-c1 + c3 = 0 c1 = c3
Substituindo c1 = c3 na equação 1:
-c3 + 6 c3 = 0 5 c3 = 0 c3 = 0
Então, c1 = 0 . Agora, substituindo c1 = 0 e c3 = 0 na equação 2:
3 cdot 0 + c2 - 9 cdot 0 = 0 c2 = 0

Passo 7

Encontramos que a única solução para o sistema é c1 = c2 = c3 = 0 . Isso significa que os polinômios p1(t) , p2(t) e p3(t) são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base para a imagem de T .

Resposta

Uma base para a imagem de T é formada pelos polinômios -t^2 + 3t - 1, t, 6 t^2 - 9 t + 1 .

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