Considere a função
dada por
. Com base nesses dados, responda:
Determine uma base para imagem de
.
Determine uma base para imagem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma base para a imagem da função linear
, onde
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e imagens. Precisaremos analisar como os vetores de entrada são transformados e identificar uma base que descreva toda a imagem dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a imagem da transformação
. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. Para encontrar uma base para
, vamos determinar quais são os polinômios gerados pelas combinações lineares das imagens dos vetores da base canônica de
.
Passo 3
Vamos considerar a base canônica de
, que são os vetores
,
e
. Vamos calcular
,
e
:
Passo 4
Agora temos três polinômios:
Queremos ver se esses polinômios são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para
. Caso contrário, precisamos encontrar uma combinação que reduza a lista a um conjunto linearmente independente.
Passo 5
Vamos montar uma combinação linear:
Substituindo os polinômios:
Distribuindo os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
,
e o termo constante devem ser iguais a zero:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação 3:
⇒
Substituindo
na equação 1:
⇒
⇒
Então,
. Agora, substituindo
e
na equação 2:
⇒
Passo 7
Encontramos que a única solução para o sistema é
. Isso significa que os polinômios
,
e
são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base para a imagem de
.
Resposta
Uma base para a imagem de
é formada pelos polinômios
.